Obtenha os valores para os coeficientes
que satisfaçam a seguinte relação no intervalo
:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida no intervalo de
e queremos encontrar os coeficientes
que satisfazem a seguinte série de Fourier:
Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier na forma de
, que são usadas para representar funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o coeficiente
(termo constante) e os coeficientes
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente
. Esse coeficiente é basicamente a média da função
no intervalo dado. A fórmula para
é:
Então, substituindo
:
Vamos resolver essa integral:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Vamos resolver essa integral por partes. Primeiro, separamos os termos:
Integral de
:
Usamos integração por partes onde:
-
=> -
=>
Então,
A segunda integral:
Então, juntando tudo:
Avaliando de 0 a L:
Substituindo x = L:
E x = 0:
Então, a integral fica:
Sabemos que
e
, então:
Integral de
:
A integral é:
Avaliando de 0 a L:
Então, essa parte desaparece.
Voltando a
:
Podemos simplificar:
Resposta
Os coeficientes que satisfazem a relação dada são:
e para todo
: