Obtenha os valores para os coeficientes cn que satisfaçam a seguinte relação no intervalo 0 <= x <= L :
x+1=c0+sumn=1^infty Cn cos (n pi xL)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função x + 1 = c0 + sumn=1^infty cn cos(n pi xL) definida no intervalo de e queremos encontrar os coeficientes que satisfazem a seguinte série de Fourier:
Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier na forma de , que são usadas para representar funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o coeficiente (termo constante) e os coeficientes para .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente c0 = 1L integral0^L f(x) , dx . Esse coeficiente é basicamente a média da função c0 = 1L integral0^L (x + 1) , dx no intervalo dado. A fórmula para integral0^L (x + 1) , dx = integral0^L x , dx + integral0^L 1 , dx = [x^22]0^L + [x]0^L = L^22 + L é:
c0 = 1L (L^22 + L) = L2 + 1
Então, substituindo :
Vamos resolver essa integral:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes cn = 2L integral0^L f(x) cos(n pi xL) , dx para cn = 2L integral0^L (x + 1) cos(n pi xL) , dx . A fórmula para cn = 2L ( integral0^L x cos(n pi xL) , dx + integral0^L cos(n pi xL) , dx ) é:
integral x cos(n pi xL) dx = x cdot Ln pi sin(n pi xL) - integral Ln pi sin(n pi xL) dx
Substituindo integral sin(n pi xL) dx = -Ln pi cos(n pi xL) + C :
integral x cos(n pi xL) dx = L xn pi sin(n pi xL) + L^2n^2 pi^2 cos(n pi xL) + C
Vamos resolver essa integral por partes. Primeiro, separamos os termos:
[L xn pi sin(n pi xL) + L^2n^2 pi^2 cos(n pi xL)]0^L
Integral de L^2n pi sin(n pi) + L^2n^2 pi^2 cos(n pi) :
Usamos integração por partes onde:
  • 0 + L^2n^2 pi^2 cos(0) = L^2n^2 pi^2 => L^2n pi sin(n pi) + L^2n^2 pi^2 cos(n pi) - L^2n^2 pi^2
  • 0 + L^2n^2 pi^2 (-1)^n - L^2n^2 pi^2 = L^2n^2 pi^2 [(-1)^n - 1] => integral cos(n pi xL) dx = Ln pi sin(n pi xL) + C
Então,
Ln pi sin(n pi) - Ln pi sin(0) = 0 - 0 = 0
A segunda integral:
cn = 2L ( L^2n^2 pi^2 [(-1)^n - 1] + 0 ) = 2 Ln^2 pi^2 [(-1)^n - 1]
Então, juntando tudo:
cn = 2Ln^2 pi^2 [ (-1)^n - 1 ]
Avaliando de 0 a L:
Substituindo x = L:
E x = 0:
Então, a integral fica:
Sabemos que e , então:
Integral de :
A integral é:
Avaliando de 0 a L:
Então, essa parte desaparece.
Voltando a :
Podemos simplificar:

Resposta

Os coeficientes que satisfazem a relação dada são:
c0 = L2 + 1
e para todo cn = 2Ln^2 pi^2 [ (-1)^n - 1 ] :

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