Obtenha os valores para os coeficientes que satisfaçam a seguinte relação no intervalo :

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida no intervalo de e queremos encontrar os coeficientes que satisfazem a seguinte série de Fourier:
Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier na forma de , que são usadas para representar funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o coeficiente (termo constante) e os coeficientes para .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente . Esse coeficiente é basicamente a média da função no intervalo dado. A fórmula para é:
Então, substituindo :
Vamos resolver essa integral:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula para é:
Substituindo :
Vamos resolver essa integral por partes. Primeiro, separamos os termos:
Integral de :
Usamos integração por partes onde:
  • =>
  • =>
Então,
A segunda integral:
Então, juntando tudo:
Avaliando de 0 a L:
Substituindo x = L:
E x = 0:
Então, a integral fica:
Sabemos que e , então:
Integral de :
A integral é:
Avaliando de 0 a L:
Então, essa parte desaparece.
Voltando a :
Podemos simplificar:

Resposta

Os coeficientes que satisfazem a relação dada são:
e para todo :

Exercícios relacionados

Obtenha os valores para os coeficientes que satisfaçam a seguinte relação no intervalo :
Use transformadas de Laplace para resolver os P.V.I.:
Resposta:
Suponha que uma mola tenha uma massa e constante de mola e seja . Suponha uma constante de amortecimento tão pequena que a força de amortecimento seja desprezível. Se uma força externa for aplicada, em que , use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que o movimento da massa será descrito pela equação:
(2,00) Resolva o seguinte problema de valor de contorno: