Suponha que uma mola tenha uma massa
e constante de mola
e seja
. Suponha uma constante de amortecimento tão pequena que a força de amortecimento seja desprezível. Se uma força externa
for aplicada, em que
, use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que o movimento da massa será descrito pela equação:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma mola com massa
e constante de mola
, e a frequência natural dessa mola é
. Queremos analisar o movimento dessa massa quando uma força externa
é aplicada, onde
é diferente de
. O objetivo é usar o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que a posição da massa ao longo do tempo,
, é dada pela equação:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas harmônicas, equações diferenciais e o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do movimento da massa. Como a força de amortecimento é desprezível, a única força além da força da mola e da força externa é
. A segunda lei de Newton nos dá:
Substituindo
por
(já que
):
Dividindo tudo por
:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea que descreve o movimento da massa.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela tem duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular devido à força externa.
1. Solução da Equação Homogênea:
A equação homogênea é:
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções cosseno e seno:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
2. Solução Particular:
Para encontrar uma solução particular (
) da equação completa, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Considerando que o lado direito da equação é
, vamos supor que a solução particular também tenha a forma de um cosseno:
Onde
é o coeficiente que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos substituir
na equação diferencial para encontrar
.
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Como
não é zero, podemos dividir ambos os lados por ela:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos a solução particular, podemos escrever a solução geral da equação diferencial, que é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Essa é a expressão que descreve o movimento da massa ao longo do tempo, considerando a força externa aplicada.
Resposta
Portanto, o movimento da massa é dado por: