(1, 0) Suponha que uma mola tenha uma massa m e constante de mola k e seja omega = raiz(k / m). Suponha uma constante de amortecimento tão pequena que a força de amortecimento seja desprezível. Se uma força externa F(t) = F0 cos(ω0 t) for aplicada, em que omega_0 != omega, use o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que o movimento da massa será descrito pela equação:
x(t) = c1 cos(ω t) + c2 sen(ω t) + F0 / (m(ω² - ω0²)) cos(ω0 t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma mola com massa e constante de mola , e a frequência natural dessa mola é . Queremos analisar o movimento dessa massa quando uma força externa é aplicada, onde é diferente de . O objetivo é usar o método dos coeficientes indeterminados para mostrar que a posição da massa ao longo do tempo, , é dada pela equação:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas harmônicas, equações diferenciais e o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do movimento da massa. Como a força de amortecimento é desprezível, a única força além da força da mola e da força externa é . A segunda lei de Newton nos dá:
Substituindo por (já que ):
Dividindo tudo por :
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea que descreve o movimento da massa.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Ela tem duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular devido à força externa.
1. Solução da Equação Homogênea:
A equação homogênea é:
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções cosseno e seno:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
2. Solução Particular:
Para encontrar uma solução particular ( ) da equação completa, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Considerando que o lado direito da equação é , vamos supor que a solução particular também tenha a forma de um cosseno:
Onde é o coeficiente que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos substituir na equação diferencial para encontrar .
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Como não é zero, podemos dividir ambos os lados por ela:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos a solução particular, podemos escrever a solução geral da equação diferencial, que é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Essa é a expressão que descreve o movimento da massa ao longo do tempo, considerando a força externa aplicada.

Resposta

Portanto, o movimento da massa é dado por:

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