Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função
que é definida de forma diferente em dois intervalos: de 0 a 4,
e para
,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e entender como lidar com funções definidas por partes usando a função degrau de Heaviside.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função degrau de Heaviside, que é uma ferramenta útil para representar funções que mudam de valor em certos pontos. A função degrau
é igual a 0 para
e igual a 1 para
.
Então, podemos expressar
da seguinte maneira:
Aqui,
representa a parte constante de 4 para
e
ajusta o valor para -4 a partir de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de
:
Sabemos que a transformada de Laplace da função degrau
é
, então:
Para a segunda parte, usamos a propriedade da transformação de Laplace para funções deslocadas:
Aplicando isso:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão da transformada de
:
Podemos simplificar colocando os termos sobre o mesmo denominador:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é: