Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções: f(t) = { 4 se 0 <= t < 4; -4 se t >= 4 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função que é definida de forma diferente em dois intervalos: de 0 a 4, e para , . Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Laplace e entender como lidar com funções definidas por partes usando a função degrau de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a função degrau de Heaviside, que é uma ferramenta útil para representar funções que mudam de valor em certos pontos. A função degrau é igual a 0 para e igual a 1 para .
Então, podemos expressar da seguinte maneira:
Aqui, representa a parte constante de 4 para e ajusta o valor para -4 a partir de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de :
Sabemos que a transformada de Laplace da função degrau é , então:
Para a segunda parte, usamos a propriedade da transformação de Laplace para funções deslocadas:
Aplicando isso:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da transformada de :
Podemos simplificar colocando os termos sobre o mesmo denominador:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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