Encontre o domínio, o gráfico e as curvas de nível de cada função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o domínio, o gráfico e as curvas de nível da função . Isso está dentro do conteúdo de funções de duas variáveis. Pra resolver, a gente vai precisar entender o que cada um desses termos significa e como aplicar isso na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e que a função pode receber sem causar problemas, tipo dividir por zero ou tirar raiz de número negativo.
No caso da função , não tem nenhum tipo de restrição. A função simplesmente pega o valor de . Então, podemos dizer que o domínio é todo o plano , ou seja, qualquer valor real para e .

Passo 3

Agora, vamos pensar no gráfico da função . Como a função depende apenas de , para cada valor de , é igual a , independente de .
Isso significa que o gráfico vai ser um plano paralelo ao eixo , movendo-se conforme o valor de . Mais especificamente, o gráfico é uma superfície plana onde, para qualquer ponto , temos .

Passo 4

Por último, vamos determinar as curvas de nível da função. As curvas de nível são conjuntos de pontos no plano onde a função tem o mesmo valor constante . Matematicamente, são dadas por .
Para a função , temos:
Isso significa que para cada constante , a curva de nível é uma reta paralela ao eixo no plano . Ou seja, são linhas horizontais a diferentes alturas .

Resposta

  • Domínio: (todos os valores reais para e )
  • Gráfico: Um plano inclinado onde , paralelo ao eixo
  • Curvas de nível: Retas horizontais para cada constante

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Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
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(1,00) Resolva o seguinte problema de valor de inicial (PVI):
© Suponha que e sejam constantes dadas para as quais tem duas raízes reais distintas. Se as duas raízes forem expressas na forma e , mostre que uma solução geral da equação é .