Calcule os seguintes limites ou explique por que ele não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite lim (x, y) (0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções com duas variáveis. Para resolver isso, vamos usar substituição polar e algumas propriedades de limites e funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. Sabemos que x = r cos(theta) e y = r sin(theta), onde r = raizx^2+y^2. Assim, quando (x, y) (0,0), isso equivale a r 0.

Passo 3

Substituindo na função, temos:
x^2 + y^2raizx^2 + y^2 + 1 - 1 = r^2raizr^2 + 1 - 1

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador raizr^2 + 1 - 1. Podemos racionalizar esse termo multiplicando e dividindo pela expressão conjugada:
raizr^2 + 1 - 1 = (raizr^2 + 1 - 1)(raizr^2 + 1 + 1)raizr^2 + 1 + 1 = (r^2 + 1) - 1raizr^2 + 1 + 1 = r^2raizr^2 + 1 + 1

Passo 5

Substituindo de volta na fração original:
r^2r^2raizr^2 + 1 + 1 = raizr^2 + 1 + 1

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando r 0:
limr to 0 (raizr^2 + 1 + 1) = raiz0 + 1 + 1 = 1 + 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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