(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja alpha um real dado, com alpha não-natural. Considere a equação diferencial linear de 1^ a ordem
y^prime=alpha1+x y, x>-1
(e) Conclua que, para todo x in]-1,1[,
(1+x)^alpha=1+sumn=1^+infty alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots(alpha-n+1)n! x^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
y' = alpha1+x , y, x > -1
Onde alpha é um número real que não é natural. A tarefa é mostrar que, para todo x no intervalo ]-1,1[, a expressão (1+x)^alpha pode ser escrita como uma série infinita:
(1+x)^alpha = 1 + sumn=1^+infty alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots (alpha -n +1)n! x^n
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e séries de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
y' = alpha1+x , y
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolver utilizando o método de separação de variáveis.

Passo 3

Para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por y e multiplicar por dx:
dyy = alpha1+x , dx
Agora, as variáveis estão separadas: todas as y de um lado e todas as x do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
integral 1y , dy = integral alpha1+x , dx
As integrais ficam:
ln |y| = alpha ln |1+x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para simplificar, vamos resolver para y exponenciando os dois lados da equação:
y = e^alpha ln |1+x| + C = e^C cdot e^alpha ln |1+x| = K cdot (1+x)^alpha
Onde K = e^C é uma nova constante.

Passo 6

Em muitos casos, assumimos condições iniciais para determinar K. Se considerarmos que quando x = 0, y = 1, então:
1 = K cdot (1+0)^alpha Rightarrow K = 1
Portanto, a solução da equação diferencial é:
y(x) = (1+x)^alpha

Passo 7

Agora, queremos expressar (1+x)^alpha como uma série infinita. Para isso, usamos a Série Binomial de Newton, que nos permite expandir potências de expressões binomiais quando |x| < 1.
A série binomial para (1 + x)^alpha é dada por:
(1+x)^alpha = 1 + sumn=1^+infty alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots (alpha -n +1)n! x^n
Essa série converge para todo x no intervalo ]-1,1[, o que está de acordo com a restrição da questão.

Resposta

Portanto, concluímos que, para todo x in ]-1,1[,
(1+x)^alpha = 1 + sumn=1^+infty alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots (alpha -n +1)n! x^n

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