(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja
um real dado, com
não-natural. Considere a equação diferencial linear de
ordem
(e) Conclua que, para todo
,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Onde
é um número real que não é natural. A tarefa é mostrar que, para todo
no intervalo
, a expressão
pode ser escrita como uma série infinita:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e séries de potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolver utilizando o método de separação de variáveis.
Passo 3
Para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por
e multiplicar por
:
Agora, as variáveis estão separadas: todas as
de um lado e todas as
do outro.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
As integrais ficam:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para simplificar, vamos resolver para
exponenciando os dois lados da equação:
Onde
é uma nova constante.
Passo 6
Em muitos casos, assumimos condições iniciais para determinar
. Se considerarmos que quando
,
, então:
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Passo 7
Agora, queremos expressar
como uma série infinita. Para isso, usamos a Série Binomial de Newton, que nos permite expandir potências de expressões binomiais quando
.
A série binomial para
é dada por:
Essa série converge para todo
no intervalo
, o que está de acordo com a restrição da questão.
Resposta
Portanto, concluímos que, para todo
,
Exercícios relacionados
Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados:
na direção de
Represente graficamente os campos vetoriais.
(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja
um real dado, com
não-natural. Considere a equação diferencial linear de
ordem
(b) Suponha que
, seja solução de (1) e que
. Prove que, para todo
,
(Sugestão: verifique que
.)
Desenhe a imagem de
.