(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja um real dado, com não-natural. Considere a equação diferencial linear de ordem
(e) Conclua que, para todo ,

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
Onde é um número real que não é natural. A tarefa é mostrar que, para todo no intervalo , a expressão pode ser escrita como uma série infinita:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e séries de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos resolver utilizando o método de separação de variáveis.

Passo 3

Para separar as variáveis, vamos dividir ambos os lados por e multiplicar por :
Agora, as variáveis estão separadas: todas as de um lado e todas as do outro.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
As integrais ficam:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para simplificar, vamos resolver para exponenciando os dois lados da equação:
Onde é uma nova constante.

Passo 6

Em muitos casos, assumimos condições iniciais para determinar . Se considerarmos que quando , , então:
Portanto, a solução da equação diferencial é:

Passo 7

Agora, queremos expressar como uma série infinita. Para isso, usamos a Série Binomial de Newton, que nos permite expandir potências de expressões binomiais quando .
A série binomial para é dada por:
Essa série converge para todo no intervalo , o que está de acordo com a restrição da questão.

Resposta

Portanto, concluímos que, para todo ,

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(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja um real dado, com não-natural. Considere a equação diferencial linear de ordem
(b) Suponha que , seja solução de (1) e que . Prove que, para todo ,
(Sugestão: verifique que .)
Desenhe a imagem de .