(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja
um real dado, com
não-natural. Considere a equação diferencial linear de
ordem
(b) Suponha que
, seja solução de (1) e que
. Prove que, para todo
,
(Sugestão: verifique que
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde
é um número real que não é natural. O que precisamos provar é que se
é uma solução dessa equação no intervalo
e satisfaça
, então:
Para isso, vamos usar um método que envolve verificar que a derivada de uma certa expressão é zero no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a expressão sugerida:
Queremos mostrar que a derivada dessa expressão em relação a
é zero, ou seja:
Se conseguirmos provar isso, isso significa que a expressão
é constante no intervalo
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada dessa expressão usando a regra do quociente. Lembrando que se temos uma função
, a derivada é:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular
e
.
Passo 4
Sabemos que
, então para
, temos:
Agora, para
, vamos calcular a derivada:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula da derivada do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
E:
Subtraindo essas duas expressões:
Passo 7
Agora, vamos colocar de volta na derivada:
Para que essa derivada seja zero, precisamos que:
Como
(pois é dado que é um real não-natural) e
no intervalo considerado, isso só acontece se
, o que não é o nosso caso. Então, parece que houve um erro na simplificação. Vamos revisar.
Passo 8
Na verdade, ao simplificar o numerador, devemos ter:
Mas isso deveria simplificar de forma que a derivada fique zero, conforme a sugestão. Vamos ajustar nossos passos.
Passo 9
Vamos refazer a simplificação corretamente:
Fatorando
:
Agora, isso coloca no numerador:
E o denominador:
Portanto, a derivada fica:
Para que essa derivada seja zero, precisamos que
. Como
e
no intervalo, isso implica que
. Porém, isso só é válido se
for zero, o que não é interessante. Parece que estamos seguindo a dica de forma equivocada.
Passo 10
Vamos tentar outra abordagem. Sabemos que a solução geral da equação diferencial:
é dada por:
onde
é uma constante. Agora, usando a condição inicial
, encontramos:
Portanto, a solução específica é:
Resposta
A solução da equação diferencial é
para todo
.
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(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja
um real dado, com
não-natural. Considere a equação diferencial linear de
ordem
(e) Conclua que, para todo
,
Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados:
na direção de
Desenhe a imagem de
.
Desenhe a imagem de
.