(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja alpha um real dado, com alpha não-natural. Considere a equação diferencial linear de 1^a ordem
y' = α / (1 + x) y, x > -1
(b) Suponha que y = g(x), -1 < x < 1, seja solução de (1) e que g(0) = 1. Prove que, para todo x in ]-1, 1[,
g(x) = (1 + x)^(alfa)
(Sugestão: verifique que d/dx [g(x)/(1+x)^{alpha}] = 0 em -1,1.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem:
onde alpha é um número real que não é natural. O que precisamos provar é que se g(x) é uma solução dessa equação no intervalo e satisfaça , então:
Para isso, vamos usar um método que envolve verificar que a derivada de uma certa expressão é zero no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a expressão sugerida:
Queremos mostrar que a derivada dessa expressão em relação a x é zero, ou seja:
Se conseguirmos provar isso, isso significa que a expressão é constante no intervalo .

Passo 3

Vamos calcular a derivada dessa expressão usando a regra do quociente. Lembrando que se temos uma função , a derivada é:
No nosso caso, e . Vamos calcular e .

Passo 4

Sabemos que , então para , temos:
Agora, para , vamos calcular a derivada:

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula da derivada do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
E:
Subtraindo essas duas expressões:

Passo 7

Agora, vamos colocar de volta na derivada:
Para que essa derivada seja zero, precisamos que:
Como (pois é dado que é um real não-natural) e x != 0 no intervalo considerado, isso só acontece se , o que não é o nosso caso. Então, parece que houve um erro na simplificação. Vamos revisar.

Passo 8

Na verdade, ao simplificar o numerador, devemos ter:
Mas isso deveria simplificar de forma que a derivada fique zero, conforme a sugestão. Vamos ajustar nossos passos.

Passo 9

Vamos refazer a simplificação corretamente:
Fatorando :
Agora, isso coloca no numerador:
E o denominador:
Portanto, a derivada fica:
Para que essa derivada seja zero, precisamos que . Como e no intervalo, isso implica que . Porém, isso só é válido se g(x) for zero, o que não é interessante. Parece que estamos seguindo a dica de forma equivocada.

Passo 10

Vamos tentar outra abordagem. Sabemos que a solução geral da equação diferencial:
é dada por:
onde C é uma constante. Agora, usando a condição inicial , encontramos:
Portanto, a solução específica é:

Resposta

A solução da equação diferencial é para todo .

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