Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados:
na direção de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional do campo escalar
no ponto
na direção do vetor
. Isso tudo faz parte do estudo de derivadas em várias variáveis, especificamente das derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto dado e da direção do vetor, mas o vetor tem que ser unitário.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Passo 5
Em seguida, vamos normalizar o vetor de direção
para obter um vetor unitário. A gente faz isso dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento).
Calculando o módulo de
:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 6
Agora, para encontrar a derivada direcional, a gente faz o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário na direção dada:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Represente graficamente os campos vetoriais.
Seja
um sólido esférico de raio
. A temperatura em cada ponto no interior do sólido é proporcional a distância do ponto até a superfície da esfera. Utilizando coordenadas cartesianas, determine a função escalar que define a temperatura e, em seguida, a função vetorial que determina o campo de temperatura.
(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja
um real dado, com
não-natural. Considere a equação diferencial linear de
ordem
(e) Conclua que, para todo
,
(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja
um real dado, com
não-natural. Considere a equação diferencial linear de
ordem
(b) Suponha que
, seja solução de (1) e que
. Prove que, para todo
,
(Sugestão: verifique que
.)