Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados: f(x, y) = (x + y) / (1 - x), P(0, 1/2) na direção de v = 2i - j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional do campo escalar no ponto na direção do vetor . Isso tudo faz parte do estudo de derivadas em várias variáveis, especificamente das derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função no ponto dado e da direção do vetor, mas o vetor tem que ser unitário.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando a derivada parcial em relação a :
Calculando a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Substituindo e na expressão do gradiente:

Passo 5

Em seguida, vamos normalizar o vetor de direção para obter um vetor unitário. A gente faz isso dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento).
Calculando o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, para encontrar a derivada direcional, a gente faz o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário na direção dada:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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