Desenhe a imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a imagem da função para . Isso envolve entender curvas parametrizadas no espaço tridimensional. Vamos precisar saber como cada componente da função se comporta para desenhar a trajetória completa.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função . Isso significa que temos três componentes:
Cada uma dessas funções descreve como as coordenadas , e variam com o tempo .

Passo 3

Agora, olhemos para as primeiras duas componentes: e . Se ignorarmos o por um momento, essas duas funções descrevem um círculo no plano . Isso porque:
Então, para cada valor de , está sobre um círculo de raio 1.

Passo 4

Mas tem mais! A terceira componente, , aumenta linearmente conforme cresce. Isso significa que, conforme o ponto percorre o círculo no plano , ele também está subindo constantemente no eixo . Juntando tudo, a trajetória formada é uma hélice, que é como uma escada espiralada subindo para cima.

Resposta

A imagem da função para é uma hélice.

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Desenhe a imagem de .
(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja um real dado, com não-natural. Considere a equação diferencial linear de ordem
(b) Suponha que , seja solução de (1) e que . Prove que, para todo ,
(Sugestão: verifique que .)
Sejam e , calcule .
Determine sabendo que e .