(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja um real dado, com não-natural. Considere a equação diferencial linear de ordem
Verifique que a série
tem raio de convergência .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a série
tem raio de convergência . Aqui, é um número real que não é natural, e estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série , se calcularmos o limite
então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
O raio de convergência é então dado por .

Passo 3

Vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que a série converge quando e diverge quando . Quando , o teste é inconclusivo, mas para determinar o raio de convergência, focamos no intervalo onde a série converge.

Resposta

Portanto, o raio de convergência da série dada é .

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(d) Verifique que:
Considere a equação de Hermite:
é
(a) Mostre que a solução geral da equação (2) é , em que e .
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Com base nessa informação, explique o que diferencia uma equação diferencial de uma equação algébrica.
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a)
b)
c)