(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja um real dado, com não-natural. Considere a equação diferencial linear de ordem
Verifique que a série
tem raio de convergência .
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a série
tem raio de convergência . Aqui, é um número real que não é natural, e estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série , se calcularmos o limite
então:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
O raio de convergência é então dado por .
Passo 3
Vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, identifiquemos :
Agora, calculamos :
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão :
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 6
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que a série converge quando e diverge quando . Quando , o teste é inconclusivo, mas para determinar o raio de convergência, focamos no intervalo onde a série converge.
Resposta
Portanto, o raio de convergência da série dada é .