(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja alpha um real dado, com alpha não-natural. Considere a equação diferencial linear de 1^ a ordem
y^prime=alpha1+x y, x>-1
Verifique que a série
sumn=1^+infty alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots(alpha-n+1)n! x^n
tem raio de convergência R=1.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar que a série
sumn=1^+infty alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots(alpha-n+1)n! x^n
tem raio de convergência . Aqui, é um número real que não é natural, e estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência de uma série infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série L = limn to infty | an+1an | , se calcularmos o limite
então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
O raio de convergência é então dado por .

Passo 3

Vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, identifiquemos an = alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots(alpha-n+1)n! x^n :
an+1 = alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots(alpha-(n+1)+1)(n+1)! x^n+1 = alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots(alpha-n)(n+1)! x^n+1
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão | an+1an | = | alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots(alpha-n)(n+1)! x^n+1 cdot n!alpha(alpha-1)(alpha-2) ldots(alpha-n+1) cdot 1x^n | :
| an+1an | = | (alpha - n)n+1 x |
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (alpha - n)n+1 x | = limn to infty | -nn x | = limn to infty | -x | = |x| tende ao infinito:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x| < 1 :
Isso significa que a série converge quando e diverge quando . Quando , o teste é inconclusivo, mas para determinar o raio de convergência, focamos no intervalo onde a série converge.

Resposta

Portanto, o raio de convergência da série dada é .

Exercícios relacionados