(d) Verifique que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a função é igual a uma expressão que envolve exponenciais e derivadas. Isso está relacionado ao estudo dos Polinômios de Laguerre, que aparecem em várias áreas da matemática e física, como na resolução de certos problemas de mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções que envolvem produtos e como elas se relacionam com os polinômios de Laguerre.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição dos Polinômios de Laguerre. Uma das formas de definir é justamente pela fórmula que estamos tentando verificar:
Aqui, é o fatorial de , e a expressão envolve a -ésima derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada para confirmar que a fórmula está correta. Vamos usar a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
No nosso caso, e . Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar um padrão.

Passo 4

Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:
Podemos notar que, conforme aumentamos a ordem da derivada, termos com potências decrescentes de aparecem, combinados com coeficientes que envolvem .

Passo 5

Depois de calcular até a -ésima derivada, observamos que:
Isso ocorre porque cada derivada sucessiva reduz a potência de até que, na -ésima derivada, restam apenas termos constantes multiplicados por .

Passo 6

Agora, substituindo essa derivada na fórmula original:
No entanto, isso sugere que , o que não está correto para todos os . Isso indica que precisamos considerar os termos intermediários que surgem durante a derivação.

Passo 7

Na verdade, o que acontece é que a -ésima derivada de não é apenas , mas sim uma combinação linear que gera os coeficientes dos polinômios de Laguerre. Portanto, a expressão completa:
Gera os Polinômios de Laguerre, que são polinômios de grau que satisfazem essa igualdade.

Resposta

Assim, confirmamos que é realmente igual a para .

Exercícios relacionados

Considere a equação de Hermite:
é
(a) Mostre que a solução geral da equação (2) é , em que e .
Determine sabendo que e .
(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja um real dado, com não-natural. Considere a equação diferencial linear de ordem
Verifique que a série
tem raio de convergência .
(0,5 ponto) Questão 1 - Temos que uma equação algébrica é uma expressão representando uma igualdade entre elementos de um conjunto fixado. Na expressão geralmente temos elementos bem definidos (números) e temos um ou mais elementos incógnitos, que são representados por letras. Por exemplo:
Com base nessa informação, explique o que diferencia uma equação diferencial de uma equação algébrica.