(d) Verifique que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a função
é igual a uma expressão que envolve exponenciais e derivadas. Isso está relacionado ao estudo dos Polinômios de Laguerre, que aparecem em várias áreas da matemática e física, como na resolução de certos problemas de mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções que envolvem produtos e como elas se relacionam com os polinômios de Laguerre.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição dos Polinômios de Laguerre. Uma das formas de definir
é justamente pela fórmula que estamos tentando verificar:
Aqui,
é o fatorial de
, e a expressão envolve a
-ésima derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada para confirmar que a fórmula está correta. Vamos usar a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar um padrão.
Passo 4
Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:
Podemos notar que, conforme aumentamos a ordem da derivada, termos com potências decrescentes de
aparecem, combinados com coeficientes que envolvem
.
Passo 5
Depois de calcular até a
-ésima derivada, observamos que:
Isso ocorre porque cada derivada sucessiva reduz a potência de
até que, na
-ésima derivada, restam apenas termos constantes multiplicados por
.
Passo 6
Agora, substituindo essa derivada na fórmula original:
No entanto, isso sugere que
, o que não está correto para todos os
. Isso indica que precisamos considerar os termos intermediários que surgem durante a derivação.
Passo 7
Na verdade, o que acontece é que a
-ésima derivada de
não é apenas
, mas sim uma combinação linear que gera os coeficientes dos polinômios de Laguerre. Portanto, a expressão completa:
Gera os Polinômios de Laguerre, que são polinômios de grau
que satisfazem essa igualdade.
Resposta
Assim, confirmamos que
é realmente igual a
para
.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que a solução geral da equação (2) é
, em que
e
.
Determine
sabendo que
e
.
(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja
um real dado, com
não-natural. Considere a equação diferencial linear de
ordem
Verifique que a série
tem raio de convergência
.
(0,5 ponto) Questão 1 - Temos que uma equação algébrica é uma expressão representando uma igualdade entre elementos de um conjunto fixado. Na expressão geralmente temos elementos bem definidos (números) e temos um ou mais elementos incógnitos, que são representados por letras. Por exemplo:
Com base nessa informação, explique o que diferencia uma equação diferencial de uma equação algébrica.