(0,5 ponto) Questão 1 - Temos que uma equação algébrica é uma expressão representando uma igualdade entre elementos de um conjunto fixado. Na expressão geralmente temos elementos bem definidos (números) e temos um ou mais elementos incógnitos, que são representados por letras. Por exemplo:
Com base nessa informação, explique o que diferencia uma equação diferencial de uma equação algébrica.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. A pergunta fala sobre equações algébricas, que são igualdades com números e incógnitas (letras), como os exemplos dados: e . O conteúdo aqui é sobre tipos de equações na matemática, especificamente a diferença entre equações algébricas e equações diferenciais. Para responder, precisamos saber o que cada uma representa e como elas são usadas.

Passo 2

Primeiro, uma equação algébrica é uma igualdade que envolve apenas operações básicas com variáveis e constantes, como soma, subtração, multiplicação, divisão e potências. Por exemplo, na equação , `x` é a incógnita que queremos encontrar.

Passo 3

Já uma equação diferencial envolve derivadas de uma função. Isso significa que, além das variáveis e constantes, ela considera como a função muda em relação a uma ou mais variáveis. Por exemplo, uma equação diferencial simples seria , onde representa a taxa de variação de em relação a .

Passo 4

A grande diferença, então, é que a equação diferencial incorpora informações sobre as taxas de variação (derivadas) das funções, enquanto a equação algébrica trata apenas dos valores diretos das variáveis sem considerar como elas mudam.

Resposta

Em resumo, a diferença entre uma equação diferencial e uma equação algébrica é que a equação diferencial envolve derivadas que representam as taxas de variação de uma função, adicionando uma camada de complexidade sobre como a função se comporta, enquanto a equação algébrica lida apenas com as relações diretas entre variáveis e constantes sem considerar essas variações.

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(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja um real dado, com não-natural. Considere a equação diferencial linear de ordem
Verifique que a série
tem raio de convergência .
(d) Verifique que:
(1,0 ponto) Questão 2 - Considerando os tipos de Equações Diferenciais vistos no decorrer do semestre, classifique as equações dadas abaixo.
a)
b)
c)
(1,2 pontos) Questão 4 - Encontre a solução particular do PVI dado por: