(1,0 ponto) Questão 2 - Considerando os tipos de Equações Diferenciais vistos no decorrer do semestre, classifique as equações dadas abaixo.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre Equações Diferenciais! A gente tem três equações e precisa classificá-las de acordo com os tipos que vimos durante o semestre. Para isso, vamos precisar identificar se são lineares ou não-lineares e também ver a ordem de cada uma.
Passo 2
Vamos começar pela primeira equação:
a)
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem. Ela é linear porque pode ser colocada na forma geral de uma equação linear de primeira ordem:
Onde
e
. Não tem termos como
ou outros não-lineares, então é uma equação linear.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda equação:
b)
Primeiro, rearranjando a equação para a forma padrão:
Nessa equação, temos um termo
, que é não-linear. Portanto, mesmo sendo de primeira ordem, essa equação é não-linear.
Passo 4
Por último, vamos analisar a terceira equação:
c)
Primeiro, simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Essa é uma equação de primeira ordem e linear, pois pode ser escrita na forma:
Onde
e
. Não há termos não-lineares, então é linear.
Resposta
a) Equação diferencial linear de primeira ordem.
b) Equação diferencial não-linear de primeira ordem.
c) Equação diferencial linear de primeira ordem.
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(0,5 ponto) Questão 1 - Temos que uma equação algébrica é uma expressão representando uma igualdade entre elementos de um conjunto fixado. Na expressão geralmente temos elementos bem definidos (números) e temos um ou mais elementos incógnitos, que são representados por letras. Por exemplo:
Com base nessa informação, explique o que diferencia uma equação diferencial de uma equação algébrica.
(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja
um real dado, com
não-natural. Considere a equação diferencial linear de
ordem
Verifique que a série
tem raio de convergência
.
(1,2 pontos) Questão 4 - Encontre a solução particular do PVI dado por: