Considere a equação de Hermite:
(a) Mostre que a solução geral da equação (2) é
, em que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação de Hermite:
Aqui,
é uma constante. A matéria envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis. Nosso objetivo é mostrar que a solução geral dessa equação pode ser escrita como uma combinação linear de duas soluções específicas,
e
, dadas por séries de potências.
Passo 2
Primeiro, para resolver essa equação, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências. Isso significa que vamos tentar escrever
como:
Essa abordagem é útil quando temos coeficientes que variam com
, e nos ajuda a encontrar uma solução em forma de série.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
:
Vamos substituir essas expressões na equação de Hermite.
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação, temos:
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todos tenham a mesma potência de
.
Passo 5
Mudando o índice da primeira soma para
, obtemos:
Agora, podemos combinar as somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 6
Isso nos dá a relação de recorrência:
Com essa relação, podemos determinar os coeficientes
da série para encontrar as soluções
e
. Essas soluções serão séries alternadas, refletindo os termos pares e ímpares de
.
Resposta
Portanto, a solução geral da equação de Hermite é:
onde
e
Exercícios relacionados
Determine
sabendo que
e
.
Sejam
e
, calcule
.
(d) Verifique que:
(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja
um real dado, com
não-natural. Considere a equação diferencial linear de
ordem
Verifique que a série
tem raio de convergência
.