Considere a equação de Hermite:
é
(a) Mostre que a solução geral da equação (2) é , em que e .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação de Hermite:
Aqui, é uma constante. A matéria envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis. Nosso objetivo é mostrar que a solução geral dessa equação pode ser escrita como uma combinação linear de duas soluções específicas, e , dadas por séries de potências.

Passo 2

Primeiro, para resolver essa equação, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências. Isso significa que vamos tentar escrever como:
Essa abordagem é útil quando temos coeficientes que variam com , e nos ajuda a encontrar uma solução em forma de série.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de :
Vamos substituir essas expressões na equação de Hermite.

Passo 4

Substituindo , e na equação, temos:
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todos tenham a mesma potência de .

Passo 5

Mudando o índice da primeira soma para , obtemos:
Agora, podemos combinar as somas:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 6

Isso nos dá a relação de recorrência:
Com essa relação, podemos determinar os coeficientes da série para encontrar as soluções e . Essas soluções serão séries alternadas, refletindo os termos pares e ímpares de .

Resposta

Portanto, a solução geral da equação de Hermite é:
onde
e

Exercícios relacionados

Determine sabendo que e .
Sejam e , calcule .
(d) Verifique que:
(5 , 00) (Série binomial ou de Newton) Seja um real dado, com não-natural. Considere a equação diferencial linear de ordem
Verifique que a série
tem raio de convergência .