(3, 5 0) Considere a equação de Hermite:
y^prime prime-2 x y^prime+lambda y=0, em que lambda é uma constante é
(a) Mostre que a solução geral da equação (2) é y(x)=c0 y1(x)+c1 y2(x), em que y1(x)=1+sumk=1^infty (-1)^k(lambda-2(2 k-2)) cdots lambda(2 k)! x^2 k e y2(x)=x+sumk=1^infty (-1)^k(lambda-2(2 k-1)) cdots(lambda-2)(2 k+1)! x^2 k+1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação de Hermite:
y'' - 2x y' + lambda y = 0
Aqui, lambda é uma constante. A matéria envolve equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis. Nosso objetivo é mostrar que a solução geral dessa equação pode ser escrita como uma combinação linear de duas soluções específicas, y1(x) e y2(x), dadas por séries de potências.

Passo 2

Primeiro, para resolver essa equação, vamos supor que a solução y(x) pode ser expressa como uma série de potências. Isso significa que vamos tentar escrever y(x) como:
y(x) = sumk=0^infty ak x^k
Essa abordagem é útil quando temos coeficientes que variam com x, e nos ajuda a encontrar uma solução em forma de série.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de y(x):
y'(x) = sumk=1^infty ak k x^k-1
y''(x) = sumk=2^infty ak k (k-1) x^k-2
Vamos substituir essas expressões na equação de Hermite.

Passo 4

Substituindo y(x), y'(x) e y''(x) na equação, temos:
sumk=2^infty ak k (k-1) x^k-2 - 2x sumk=1^infty ak k x^k-1 + lambda sumk=0^infty ak x^k = 0
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todos tenham a mesma potência de x.

Passo 5

Mudando o índice da primeira soma para k = n+2, obtemos:
sumn=0^infty an+2 (n+2)(n+1) x^n - 2 sumn=0^infty an+1 (n+1) x^n + lambda sumn=0^infty an x^n = 0
Agora, podemos combinar as somas:
sumn=0^infty [ an+2 (n+2)(n+1) - 2 an+1 (n+1) + lambda an ] x^n = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero.

Passo 6

Isso nos dá a relação de recorrência:
an+2 = 2(n+1) - lambda(n+2)(n+1) an+1
Com essa relação, podemos determinar os coeficientes ak da série para encontrar as soluções y1(x) e y2(x). Essas soluções serão séries alternadas, refletindo os termos pares e ímpares de x.

Resposta

Portanto, a solução geral da equação de Hermite é:
y(x) = c0 y1(x) + c1 y2(x)
onde
y1(x) = 1 + sumk=1^infty (-1)^k(lambda - 2(2k - 2)) cdots lambda(2k)! x^2k
e
y2(x) = x + sumk=1^infty (-1)^k(lambda - 2(2k - 1)) cdots (lambda - 2)(2k+1)! x^2k+1

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