Se A=(6,00 i-8,00 j) unidades, B=(-8,00 i+3,00 j) unidades, e C=(26,0 i+19,0 j) unidades, determine a e b tal que a A+b B+C=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores: A, B e C, com suas respectivas componentes em i e j. O objetivo é encontrar os valores de a e b que, quando a gente faz a combinação linear aA + bB + C, o resultado dá o vetor zero. Isso envolve um pouco de álgebra linear, principalmente a resolução de um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear aA + bB + C de forma mais detalhada, usando as componentes dos vetores:
a(6,00 i - 8,00 j) + b(-8,00 i + 3,00 j) + (26,0 i + 19,0 j) = 0
Isso significa que as componentes na direção de i e j devem ser iguais a zero separadamente.

Passo 3

Vamos separar as componentes de i e j:
Para i:
6a - 8b + 26 = 0
Para j:
-8a + 3b + 19 = 0
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( a e b).

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Aqui, vou usar a eliminação. Primeiro, vou multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 8 para igualar os coeficientes de b:
Primeira equação multiplicada por 3:
18a - 24b + 78 = 0
Segunda equação multiplicada por 8:
-64a + 24b + 152 = 0

Passo 5

Agora, somando as duas equações para eliminar b:
(18a - 24b + 78) + (-64a + 24b + 152) = 0
-46a + 230 = 0
Resolvendo para a:
-46a = -230
a = 5

Passo 6

Com o valor de a encontrado, vamos substituir na primeira equação para encontrar b:
6(5) - 8b + 26 = 0
30 - 8b + 26 = 0
56 - 8b = 0
-8b = -56
b = 7

Resposta

Os valores são a = 5 e b = 7.

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