Mostre que pode ser expresso por um determinante como
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o produto vetorial de dois vetores, a times b, pode ser escrito usando um determinante 3 times 3. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra vetorial, especificamente ao produto vetorial e determinantes. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular determinantes e como definir o produto vetorial usando coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores a e b no espaço tridimensional resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Suas componentes são dadas por:
a times b = (ay bz - az by)i - (ax bz - az bx)j + (ax by - ay bx)k
Passo 3
Agora, vamos pensar em determinantes. Um determinante 3 times 3 pode ser usado para calcular volumes e também pode representar combinações lineares de vetores. A ideia é montar uma matriz onde a primeira linha são os vetores unitários i, j e k, a segunda linha são as componentes do vetor a e a terceira linha são as componentes do vetor b:
|ccc i & j & k ax & ay & az bx & by & bz |
Passo 4
Vamos calcular esse determinante usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos aplicar a expansão pela primeira linha:
a times b = i cdot (ay bz - az by) - j cdot (ax bz - az bx) + k cdot (ax by - ay bx)
Essa expressão é exatamente a fórmula do produto vetorial que mencionamos no Passo 2.
Resposta
Portanto, mostramos que:
a times b = |ccc i & j & k ax & ay & az bx & by & bz |