Dois vetores A e B têm módulos perfeitamente iguais. Para o módulo de A+B ser n vezes maior que o módulo de A-B, qual deve ser o ângulo entre eles?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores, A e B, que têm o mesmo tamanho (módulo). Queremos descobrir qual deve ser o ângulo entre eles para que o módulo de A + B seja n vezes maior que o módulo de A - B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente a fórmula do módulo da soma e da diferença de vetores.

Passo 2

Vamos lembrar que o módulo de um vetor V é representado por |V|. Para dois vetores A e B, temos as seguintes fórmulas:
|A + B| = raiz|A|^2 + |B|^2 + 2|A||B|costheta
|A - B| = raiz|A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|costheta
Onde theta é o ângulo entre A e B.

Passo 3

Como |A| = |B|, vamos chamar ambos de A. Assim, as fórmulas ficam:
|A + B| = raizA^2 + A^2 + 2A cdot A costheta = raiz2A^2(1 + costheta)
|A - B| = raizA^2 + A^2 - 2A cdot A costheta = raiz2A^2(1 - costheta)

Passo 4

De acordo com o problema, queremos que:
|A + B| = n cdot |A - B|
Substituindo as expressões que encontramos:
raiz2A^2(1 + costheta) = n cdot raiz2A^2(1 - costheta)

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por raiz2A^2:
raiz1 + costheta = n cdot raiz1 - costheta

Passo 6

Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
1 + costheta = n^2 (1 - costheta)

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para isolar costheta:
1 + costheta = n^2 - n^2 costheta
costheta + n^2 costheta = n^2 - 1
costheta (1 + n^2) = n^2 - 1

Passo 8

Finalmente, resolvemos para costheta:
costheta = n^2 - 1n^2 + 1

Resposta

O ângulo entre os vetores deve satisfazer costheta = dfracn^2 - 1n^2 + 1. Portanto, o ângulo theta é dado por:
theta = arccos(n^2 - 1n^2 + 1)

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