Dois vetores
e
têm módulos perfeitamente iguais. Para o módulo de
ser
vezes maior que o módulo de
, qual deve ser o ângulo entre eles?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores,
e
, que têm o mesmo tamanho (módulo). Queremos descobrir qual deve ser o ângulo entre eles para que o módulo de
seja
vezes maior que o módulo de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente a fórmula do módulo da soma e da diferença de vetores.
Passo 2
Vamos lembrar que o módulo de um vetor
é representado por
. Para dois vetores
e
, temos as seguintes fórmulas:
Onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 3
Como
, vamos chamar ambos de
. Assim, as fórmulas ficam:
Passo 4
De acordo com o problema, queremos que:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
O ângulo entre os vetores deve satisfazer
. Portanto, o ângulo
é dado por: