Se
então
. (Escreva
para algum
e use a fórmula binomial como no exemplo de
.)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Queremos demonstrar que, para
, o limite de
quando
tende ao infinito é 0. Para isso, vamos usar a substituição
, onde
, e aplicar a fórmula binomial de forma semelhante ao exemplo de
. Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, observe que
cresce exponencialmente à medida que
aumenta, porque
. Enquanto isso, o numerador
cresce linearmente. Exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares.
Passo 4
Para entender melhor o comportamento de
, vamos analisar o limite:
Como o denominador cresce exponencialmente e o numerador apenas linearmente, o quociente tende a 0.
Passo 5
Portanto, concluímos que:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é 0, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se então
para algum
e todo
suficientemente grande.
Se
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que
e seja
. Mostre que existem
e
tais que
para todo
. Conclua que
. Aplique isto à sequência
deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
não é limitada; em particular,
não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Mostre que se
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que
Resolva a equação diferencial
.