Se 0 então lim (n a^n)=0. (Escreva a=1 /(1+b) para algum b>0 e use a fórmula binomial como no exemplo de lim n^1 / n.)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Queremos demonstrar que, para , o limite de quando tende ao infinito é 0. Para isso, vamos usar a substituição , onde , e aplicar a fórmula binomial de forma semelhante ao exemplo de . Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a = 11 + b, b > 0 por n a^n = n (11 + b)^n = n(1 + b)^n :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, observe que cresce exponencialmente à medida que aumenta, porque . Enquanto isso, o numerador cresce linearmente. Exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares.

Passo 4

Para entender melhor o comportamento de limn to infty n(1 + b)^n , vamos analisar o limite:
Como o denominador cresce exponencialmente e o numerador apenas linearmente, o quociente tende a 0.

Passo 5

Portanto, concluímos que:
limn to infty n a^n = 0

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é 0, ou seja, .

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