Se então . (Escreva para algum e use a fórmula binomial como no exemplo de .)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Queremos demonstrar que, para , o limite de quando tende ao infinito é 0. Para isso, vamos usar a substituição , onde , e aplicar a fórmula binomial de forma semelhante ao exemplo de . Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, observe que cresce exponencialmente à medida que aumenta, porque . Enquanto isso, o numerador cresce linearmente. Exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares.

Passo 4

Para entender melhor o comportamento de , vamos analisar o limite:
Como o denominador cresce exponencialmente e o numerador apenas linearmente, o quociente tende a 0.

Passo 5

Portanto, concluímos que:

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é 0, ou seja, .

Exercícios relacionados

Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se então para algum e todo suficientemente grande.
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que e seja . Mostre que existem e tais que para todo . Conclua que . Aplique isto à sequência deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então não é limitada; em particular, não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Resolva a equação diferencial .