Se
então
. (Escreva
para algum
e use a fórmula binomial como no exemplo de
.)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Queremos demonstrar que, para
, o limite de
quando
tende ao infinito é 0. Para isso, vamos usar a substituição
, onde
, e aplicar a fórmula binomial de forma semelhante ao exemplo de
. Vamos precisar usar conceitos de limites e propriedades exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, observe que
cresce exponencialmente à medida que
aumenta, porque
. Enquanto isso, o numerador
cresce linearmente. Exponenciais crescem muito mais rápido que funções lineares.
Passo 4
Para entender melhor o comportamento de
, vamos analisar o limite:
Como o denominador cresce exponencialmente e o numerador apenas linearmente, o quociente tende a 0.
Passo 5
Portanto, concluímos que:
Resposta
O limite de
quando
tende ao infinito é 0, ou seja,
.