Resolva a equação diferencial
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo
. Isso pertence ao assunto de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar algo chamado fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução de
.
Passo 2
O próximo passo é identificar o fator integrante. Em uma equação diferencial linear da forma
, o fator integrante
é dado por:
No nosso caso, reescrevendo a equação original:
Aqui,
. Então, calculamos o fator integrante:
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 4
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
. Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Finalmente, resolvemos para
isolando-o:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
não é limitada; em particular,
não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Mostre que se
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que
Se
então
. (Escreva
para algum
e use a fórmula binomial como no exemplo de
.)
Verifique se a função
é solução da equação diferencial
.
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo: