Resolva a equação diferencial .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo . Isso pertence ao assunto de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar algo chamado fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução de .

Passo 2

O próximo passo é identificar o fator integrante. Em uma equação diferencial linear da forma , o fator integrante é dado por:
No nosso caso, reescrevendo a equação original:
Aqui, . Então, calculamos o fator integrante:

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de . Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, resolvemos para isolando-o:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então não é limitada; em particular, não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Se então . (Escreva para algum e use a fórmula binomial como no exemplo de .)
Verifique se a função é solução da equação diferencial .
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo: