Resolva a equação diferencial y' - y = 2 e^t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo . Isso pertence ao assunto de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar algo chamado fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução de y.

Passo 2

O próximo passo é identificar o fator integrante. Em uma equação diferencial linear da forma , o fator integrante é dado por:
No nosso caso, reescrevendo a equação original:
Aqui, . Então, calculamos o fator integrante:

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 4

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de . Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
O que resulta em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, resolvemos para y isolando-o:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados