Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que
e seja
. Mostre que existem
e
tais que
para todo
. Conclua que
. Aplique isto à sequência
deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma sequência de números reais positivos, chamada
. A questão nos dá que o limite da razão entre termos consecutivos dessa sequência é
, ou seja,
, onde
. Nosso objetivo é mostrar que existem constantes positivas
e
, e um número natural
, de modo que para todo
, a sequência
está limitada por
e
. Além disso, vamos concluir que o limite da raiz enésima de
é
e aplicar isso a uma sequência específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: se a razão entre termos consecutivos de uma sequência tende a
, isso nos dá uma ideia de como a sequência se comporta assintoticamente, especialmente em relação a uma progressão geométrica com base
. A ideia aqui é usar essa informação para estabelecer limites inferiores e superiores para
que envolvam
e
.
Passo 3
Como
, para um
suficientemente pequeno, existe um número natural
tal que para todo
, a razão
está entre
e
. Ou seja:
Passo 4
Vamos integrar essa desigualdade para obter limites para
. Multiplicando todos os membros por
, temos:
Isso sugere que cada termo
é limitado por uma constante multiplicada pelo termo anterior
.
Passo 5
Agora, vamos iterar essa relação para encontrar expressões envolvendo potências de
e
. Por repetição, podemos obter:
e
Definindo
e
, podemos reescrever as desigualdades como:
Passo 6
Com essas desigualdades estabelecidas, podemos agora analisar o limite de
. Tomando a raiz enésima dos três lados da desigualdade:
Sabemos que
e
. Portanto, aplicando o teorema do sanduíche, temos:
Passo 7
Agora, vamos aplicar isso à sequência específica
. Primeiro, calculamos o limite da razão entre termos consecutivos:
Sabemos que
, onde
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 8
Aplicando o resultado geral que mostramos, concluímos que:
Isso nos reconfirma o resultado do Exercício 1.18, que estabelece que o limite da raiz enésima de
é
.
Resposta
Portanto, mostramos que
e, no caso específico da sequência
, concluímos que
.
Exercícios relacionados
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se então
para algum
e todo
suficientemente grande.
Se
Se
então
. (Escreva
para algum
e use a fórmula binomial como no exemplo de
.)