Seja uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que e seja . Mostre que existem e tais que para todo . Conclua que . Aplique isto à sequência deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma sequência de números reais positivos, chamada . A questão nos dá que o limite da razão entre termos consecutivos dessa sequência é , ou seja, , onde . Nosso objetivo é mostrar que existem constantes positivas e , e um número natural , de modo que para todo , a sequência está limitada por e . Além disso, vamos concluir que o limite da raiz enésima de é e aplicar isso a uma sequência específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: se a razão entre termos consecutivos de uma sequência tende a , isso nos dá uma ideia de como a sequência se comporta assintoticamente, especialmente em relação a uma progressão geométrica com base . A ideia aqui é usar essa informação para estabelecer limites inferiores e superiores para que envolvam e .

Passo 3

Como , para um suficientemente pequeno, existe um número natural tal que para todo , a razão está entre e . Ou seja:

Passo 4

Vamos integrar essa desigualdade para obter limites para . Multiplicando todos os membros por , temos:
Isso sugere que cada termo é limitado por uma constante multiplicada pelo termo anterior .

Passo 5

Agora, vamos iterar essa relação para encontrar expressões envolvendo potências de e . Por repetição, podemos obter:
e
Definindo e , podemos reescrever as desigualdades como:

Passo 6

Com essas desigualdades estabelecidas, podemos agora analisar o limite de . Tomando a raiz enésima dos três lados da desigualdade:
Sabemos que e . Portanto, aplicando o teorema do sanduíche, temos:

Passo 7

Agora, vamos aplicar isso à sequência específica . Primeiro, calculamos o limite da razão entre termos consecutivos:
Sabemos que , onde é a base dos logaritmos naturais.

Passo 8

Aplicando o resultado geral que mostramos, concluímos que:
Isso nos reconfirma o resultado do Exercício 1.18, que estabelece que o limite da raiz enésima de é .

Resposta

Portanto, mostramos que e, no caso específico da sequência , concluímos que .

Exercícios relacionados

Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
;
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se então para algum e todo suficientemente grande.
Se então . (Escreva para algum e use a fórmula binomial como no exemplo de .)