Seja (xn)n in N uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que lim xn+1 / xn= L e seja 0. Mostre que existem A>0, B>0 e N in N tais que A(L-varepsilon)^n <= xn <= B(L+varepsilon)^n para todo n >= N. Conclua que lim xn^1 / n=L. Aplique isto à sequência (n^n / n!)n in N e deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma sequência de números reais positivos, chamada (xn)n in N. A questão nos dá que o limite da razão entre termos consecutivos dessa sequência é L, ou seja, lim xn+1xn = L, onde 0 < varepsilon < L. Nosso objetivo é mostrar que existem constantes positivas A e B, e um número natural N, de modo que para todo n >= N, a sequência xn está limitada por A(L-varepsilon)^n e B(L+varepsilon)^n. Além disso, vamos concluir que o limite da raiz enésima de xn é L e aplicar isso a uma sequência específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante: se a razão entre termos consecutivos de uma sequência tende a L, isso nos dá uma ideia de como a sequência se comporta assintoticamente, especialmente em relação a uma progressão geométrica com base L. A ideia aqui é usar essa informação para estabelecer limites inferiores e superiores para xn que envolvam (L-varepsilon)^n e (L+varepsilon)^n.

Passo 3

Como lim xn+1xn = L, para um varepsilon > 0 suficientemente pequeno, existe um número natural N tal que para todo n >= N, a razão xn+1xn está entre L - varepsilon e L + varepsilon. Ou seja:
L - varepsilon <= xn+1xn <= L + varepsilon para todo n >= N

Passo 4

Vamos integrar essa desigualdade para obter limites para xn. Multiplicando todos os membros por xn, temos:
(L - varepsilon)xn <= xn+1 <= (L + varepsilon)xn
Isso sugere que cada termo xn+1 é limitado por uma constante multiplicada pelo termo anterior xn.

Passo 5

Agora, vamos iterar essa relação para encontrar expressões envolvendo potências de (L - varepsilon) e (L + varepsilon). Por repetição, podemos obter:
xn >= xN (L - varepsilon)^n - N
e
xn <= xN (L + varepsilon)^n - N
Definindo A = xN (L - varepsilon)^-N e B = xN (L + varepsilon)^-N, podemos reescrever as desigualdades como:
A (L - varepsilon)^n <= xn <= B (L + varepsilon)^n para todo n >= N

Passo 6

Com essas desigualdades estabelecidas, podemos agora analisar o limite de xn^1/n. Tomando a raiz enésima dos três lados da desigualdade:
A^1/n (L - varepsilon) <= xn^1/n <= B^1/n (L + varepsilon)
Sabemos que limn to infty A^1/n = 1 e limn to infty B^1/n = 1. Portanto, aplicando o teorema do sanduíche, temos:
limn to infty xn^1/n = L

Passo 7

Agora, vamos aplicar isso à sequência específica (n^nn!). Primeiro, calculamos o limite da razão entre termos consecutivos:
xn+1xn = (n+1)^n+1/(n+1)!n^n/n! = (n+1)^n+1n^n(n+1) = (1 + 1n)^n
Sabemos que limn to infty (1 + 1n)^n = e, onde e é a base dos logaritmos naturais.

Passo 8

Aplicando o resultado geral que mostramos, concluímos que:
limn to infty (n^nn!)^1/n = e
Isso nos reconfirma o resultado do Exercício 1.18, que estabelece que o limite da raiz enésima de n^nn! é e.

Resposta

Portanto, mostramos que lim xn^1 / n = L e, no caso específico da sequência (n^nn!), concluímos que lim (n^nn!)^1/n = e.

Exercícios relacionados