Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se
então
não é limitada; em particular,
não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que
.
Mostre que se
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais positivos
. A primeira parte do exercício quer que mostremos que se o limite de
for maior que 1, então a sequência não é limitada e, consequentemente, não é convergente. A segunda parte pede para darmos exemplos de sequências convergentes e divergentes onde o limite de
é igual a 1.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de limites, sequências limitadas, convergência e divergência de sequências, além da propriedade das potências em limites.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que se
, então a sequência
não é limitada.
Sabemos que se
, então existe um
tal que
. Por definição de limite, para
suficientemente grande,
. Elevando ambos os lados à potência de
, obtemos
.
Como
, a sequência
cresce exponencialmente sem limite superior. Portanto,
também cresce sem limites, o que significa que
não é limitada.
Passo 3
Agora, vamos concluir que se a sequência
não é limitada, então ela não pode ser convergente. Isso porque uma sequência convergente em
necessariamente é limitada. Então, se
não é limitada, ela não pode convergir.
Passo 4
Vamos agora fornecer exemplos de sequências onde
.
Exemplo de sequência convergente:
Considere
para todo
. Então,
e a sequência converge para 1.
Exemplo de sequência divergente:
Considere
. Vamos calcular o limite de
. Sabemos que
. No entanto, a sequência
diverge para o infinito.
Resposta
Mostramos que se
, então a sequência
não é limitada e não é convergente. Além disso, fornecemos exemplos de sequências convergentes (
) e divergentes (
) onde
.
Exercícios relacionados
Se
então
. (Escreva
para algum
e use a fórmula binomial como no exemplo de
.)
Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se então
para algum
e todo
suficientemente grande.
Se
Resolva a equação diferencial
.
Verifique se a função
é solução da equação diferencial
.