Seja (xn)n in N uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se lim xn^1 / n>1 então (xn)n in N não é limitada; em particular, (xn)n in N não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que lim xn^1 / n=1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números reais positivos . A primeira parte do exercício quer que mostremos que se o limite de for maior que 1, então a sequência não é limitada e, consequentemente, não é convergente. A segunda parte pede para darmos exemplos de sequências convergentes e divergentes onde o limite de é igual a 1.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de limites, sequências limitadas, convergência e divergência de sequências, além da propriedade das potências em limites.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que se , então a sequência não é limitada.
Sabemos que se , então existe um tal que . Por definição de limite, para suficientemente grande, . Elevando ambos os lados à potência de , obtemos .
Como , a sequência cresce exponencialmente sem limite superior. Portanto, também cresce sem limites, o que significa que não é limitada.

Passo 3

Agora, vamos concluir que se a sequência não é limitada, então ela não pode ser convergente. Isso porque uma sequência convergente em necessariamente é limitada. Então, se não é limitada, ela não pode convergir.

Passo 4

Vamos agora fornecer exemplos de sequências onde .
Exemplo de sequência convergente:
Considere para todo . Então, e a sequência converge para 1.
Exemplo de sequência divergente:
Considere . Vamos calcular o limite de . Sabemos que . No entanto, a sequência diverge para o infinito.

Resposta

Mostramos que se , então a sequência não é limitada e não é convergente. Além disso, fornecemos exemplos de sequências convergentes ( ) e divergentes ( ) onde .

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