Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se então para algum e todo suficientemente grande.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A proposição 1.21 afirma que:
“Se , então para algum e todo suficientemente grande.”
Nosso objetivo aqui é verificar as consequências dessa proposição. Isso significa que vamos analisar e confirmar se essa proposição é verdadeira, entendendo seus fundamentos e implicações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso indica que a sequência converge para um valor positivo à medida que tende ao infinito. Em outras palavras, existe um número positivo que os termos da sequência se aproximam conforme avançamos na sequência.

Passo 3

A próxima parte da proposição afirma que, se , então existe um tal que para todo suficientemente grande, .
Isso significa que, depois de certo ponto na sequência, todos os termos serão maiores ou iguais a esse positivo.

Passo 4

Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Se , então, pelo critério do limite, para qualquer , existe um número natural tal que para todo , .
Escolhendo , temos:
Adicionando a todos os lados da desigualdade:
Isso implica que para todo , . Portanto, podemos escolher , garantindo que para todo suficientemente grande.

Resposta

Foi verificado que, se , então realmente existe um tal que para todo suficientemente grande.

Exercícios relacionados

Seja uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que e seja . Mostre que existem e tais que para todo . Conclua que . Aplique isto à sequência deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.
Se então . (Escreva para algum e use a fórmula binomial como no exemplo de .)
Seja uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então não é limitada; em particular, não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .