Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se lim xn>0 então xn >= de para algum de0 e todo n suficientemente grande.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A proposição 1.21 afirma que:
“Se lim xn > 0, então xn >= de para algum de 0 e todo n suficientemente grande.”
Nosso objetivo aqui é verificar as consequências dessa proposição. Isso significa que vamos analisar e confirmar se essa proposição é verdadeira, entendendo seus fundamentos e implicações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa lim xn > 0. Isso indica que a sequência (xn) converge para um valor positivo à medida que n tende ao infinito. Em outras palavras, existe um número positivo que os termos da sequência se aproximam conforme avançamos na sequência.

Passo 3

A próxima parte da proposição afirma que, se lim xn > 0, então existe um de 0 tal que para todo n suficientemente grande, xn >= de.
Isso significa que, depois de certo ponto na sequência, todos os termos serão maiores ou iguais a esse de positivo.

Passo 4

Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Se lim xn = L > 0, então, pelo critério do limite, para qualquer epsilon > 0, existe um número natural N tal que para todo n >= N, |xn - L| < epsilon.
Escolhendo epsilon = L2, temos:
|xn - L| < L2 Rightarrow -L2 < xn - L < L2
Adicionando L a todos os lados da desigualdade:
L2 < xn < 3L2
Isso implica que para todo n >= N, xn > L2. Portanto, podemos escolher de 0, garantindo que xn >= de para todo n suficientemente grande.

Resposta

Foi verificado que, se lim xn > 0, então realmente existe um de 0 tal que xn >= de para todo n suficientemente grande.

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