Verifique as seguintes consequências da Proposição 1.21.
Se
então
para algum
e todo
suficientemente grande.
Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A proposição 1.21 afirma que:
“Se
, então
para algum
e todo
suficientemente grande.”
Nosso objetivo aqui é verificar as consequências dessa proposição. Isso significa que vamos analisar e confirmar se essa proposição é verdadeira, entendendo seus fundamentos e implicações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que a sequência
converge para um valor positivo à medida que
tende ao infinito. Em outras palavras, existe um número positivo que os termos da sequência se aproximam conforme avançamos na sequência.
Passo 3
A próxima parte da proposição afirma que, se
, então existe um
tal que para todo
suficientemente grande,
.
Isso significa que, depois de certo ponto na sequência, todos os termos serão maiores ou iguais a esse
positivo.
Passo 4
Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Se
, então, pelo critério do limite, para qualquer
, existe um número natural
tal que para todo
,
.
Escolhendo
, temos:
Adicionando
a todos os lados da desigualdade:
Isso implica que para todo
,
. Portanto, podemos escolher
, garantindo que
para todo
suficientemente grande.
Resposta
Foi verificado que, se
, então realmente existe um
tal que
para todo
suficientemente grande.
Exercícios relacionados
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos. Suponha que
e seja
. Mostre que existem
e
tais que
para todo
. Conclua que
. Aplique isto à sequência
deduza novamente o resultado do Exercício 1.18.
Use o método da Seção 1.4 para estabelecer os seguintes resultados:
.
Se
então
. (Escreva
para algum
e use a fórmula binomial como no exemplo de
.)
Seja
uma sequência de números reais estritamente positivos.
Mostre que se então
não é limitada; em particular,
não é convergente.
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que .
Mostre que se
Dê exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes de números reais positivos tais que