02- (dois pontos)De acordo com o IBGE o custo de vida em uma determinada capital brasileira é em média de
com variância de 122.500,00 (reais ao quadrado). Discordando dessa informação por achar que o custo médio é superior ao informado, a ONG Transparência identificou o custo de vida para 24 famílias escolhidas aleatoriamente. Podemos afirmar ao nível de significância de
que a afirmação da ONG está correta?
4026 | 3102 | 3661 | 3975 | 3822 | 4168 | 4164 | 3528 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
4044 | 4534 | 3697 | 4048 | 4274 | 3605 | 4230 | 4143 |
4340 | 4634 | 4471 | 4246 | 3977 | 2753 | 4173 | 4468 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o custo de vida em uma capital brasileira. O IBGE disse que, em média, esse custo é de R$ 3.450,00 com uma variância de 122.500,00 reais ao quadrado. A ONG Transparência acha que esse valor está errado e acredita que o custo médio é maior. Eles coletaram dados de 24 famílias para investigar isso. Nosso objetivo aqui é verificar, com um nível de significância de 5%, se a ONG tem razão em afirmar que o custo de vida é superior ao informado pelo IBGE.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a média da amostra das 24 famílias que a ONG pesquisou. Vamos somar todos os valores e dividir pelo número de famílias.
Os valores são:
4026, 3102, 3661, 3975, 3822, 4168, 4164, 3528, 4044, 4534, 3697, 4048, 4274, 3605, 4230, 4143, 4340, 4634, 4471, 4246, 3977, 2753, 4173, 4468.
4026, 3102, 3661, 3975, 3822, 4168, 4164, 3528, 4044, 4534, 3697, 4048, 4274, 3605, 4230, 4143, 4340, 4634, 4471, 4246, 3977, 2753, 4173, 4468.
Vamos somar todos esses números:
4026 + 3102 + 3661 + 3975 + 3822 + 4168 + 4164 + 3528 + 4044 + 4534 + 3697 + 4048 + 4274 + 3605 + 4230 + 4143 + 4340 + 4634 + 4471 + 4246 + 3977 + 2753 + 4173 + 4468 = 101.149
4026 + 3102 + 3661 + 3975 + 3822 + 4168 + 4164 + 3528 + 4044 + 4534 + 3697 + 4048 + 4274 + 3605 + 4230 + 4143 + 4340 + 4634 + 4471 + 4246 + 3977 + 2753 + 4173 + 4468 = 101.149
Agora, dividimos pela quantidade de famílias (24):
101.149 / 24 ≈ 4.214,54
101.149 / 24 ≈ 4.214,54
Então, a média da amostra é aproximadamente R$ 4.214,54.
Passo 3
Agora, vamos realizar um teste de hipóteses para verificar se essa média amostral é significativamente maior que a média informada pelo IBGE (R$ 3.450,00).
Primeiro, estabelecemos nossas hipóteses:
- Hipótese nula (H₀): μ = 3.450 (A média real é igual à informada pelo IBGE)
- Hipótese alternativa (H₁): μ > 3.450 (A média real é maior que a informada pelo IBGE)
Como a variância populacional é conhecida (σ² = 122.500,00), usamos o teste z.
A fórmula para o z-score é:
Onde:
-
é a média da amostra (4.214,54) -
é a média populacional sob H₀ (3.450,00) -
é o desvio padrão populacional (\sqrt{122.500} = 350) -
é o tamanho da amostra (24)
Vamos calcular:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, o numerador:
Então:
Passo 4
Com o z-score calculado, precisamos comparar com o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 5%.
O valor crítico para 5% em um teste unilateral (direcional) é aproximadamente 1,645.
Como nosso z-score (10,70) é muito maior que 1,645, isso indica que a diferença observada é estatisticamente significativa.
Passo 5
Como o z-score calculado está muito acima do valor crítico, rejeitamos a hipótese nula (H₀). Isso significa que há evidências suficientes para afirmar, com 95% de confiança, que o custo de vida médio é superior a R$ 3.450,00.
Resposta
Sim, ao nível de significância de 5%, podemos afirmar que o custo de vida médio é superior ao informado pelo IBGE.