02- (dois pontos)De acordo com o IBGE o custo de vida em uma determinada capital brasileira é em média de
com variância de 122.500,00 (reais ao quadrado). Discordando dessa informação por achar que o custo médio é superior ao informado, a ONG Transparência identificou o custo de vida para 24 famílias escolhidas aleatoriamente. Podemos afirmar ao nível de significância de
que a afirmação da ONG está correta?
4026 | 3102 | 3661 | 3975 | 3822 | 4168 | 4164 | 3528 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
4044 | 4534 | 3697 | 4048 | 4274 | 3605 | 4230 | 4143 |
4340 | 4634 | 4471 | 4246 | 3977 | 2753 | 4173 | 4468 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o custo de vida em uma capital brasileira. O IBGE disse que, em média, esse custo é de R$ 3.450,00 com uma variância de 122.500,00 reais ao quadrado. A ONG Transparência acha que esse valor está errado e acredita que o custo médio é maior. Eles coletaram dados de 24 famílias para investigar isso. Nosso objetivo aqui é verificar, com um nível de significância de 5%, se a ONG tem razão em afirmar que o custo de vida é superior ao informado pelo IBGE.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a média da amostra das 24 famílias que a ONG pesquisou. Vamos somar todos os valores e dividir pelo número de famílias.
Os valores são:
4026, 3102, 3661, 3975, 3822, 4168, 4164, 3528, 4044, 4534, 3697, 4048, 4274, 3605, 4230, 4143, 4340, 4634, 4471, 4246, 3977, 2753, 4173, 4468.
4026, 3102, 3661, 3975, 3822, 4168, 4164, 3528, 4044, 4534, 3697, 4048, 4274, 3605, 4230, 4143, 4340, 4634, 4471, 4246, 3977, 2753, 4173, 4468.
Vamos somar todos esses números:
4026 + 3102 + 3661 + 3975 + 3822 + 4168 + 4164 + 3528 + 4044 + 4534 + 3697 + 4048 + 4274 + 3605 + 4230 + 4143 + 4340 + 4634 + 4471 + 4246 + 3977 + 2753 + 4173 + 4468 = 101.149
4026 + 3102 + 3661 + 3975 + 3822 + 4168 + 4164 + 3528 + 4044 + 4534 + 3697 + 4048 + 4274 + 3605 + 4230 + 4143 + 4340 + 4634 + 4471 + 4246 + 3977 + 2753 + 4173 + 4468 = 101.149
Agora, dividimos pela quantidade de famílias (24):
101.149 / 24 ≈ 4.214,54
101.149 / 24 ≈ 4.214,54
Então, a média da amostra é aproximadamente R$ 4.214,54.
Passo 3
Agora, vamos realizar um teste de hipóteses para verificar se essa média amostral é significativamente maior que a média informada pelo IBGE (R$ 3.450,00).
Primeiro, estabelecemos nossas hipóteses:
- Hipótese nula (H₀): μ = 3.450 (A média real é igual à informada pelo IBGE)
- Hipótese alternativa (H₁): μ > 3.450 (A média real é maior que a informada pelo IBGE)
Como a variância populacional é conhecida (σ² = 122.500,00), usamos o teste z.
A fórmula para o z-score é:
Onde:
-
é a média da amostra (4.214,54) -
é a média populacional sob H₀ (3.450,00) -
é o desvio padrão populacional (\sqrt{122.500} = 350) -
é o tamanho da amostra (24)
Vamos calcular:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, o numerador:
Então:
Passo 4
Com o z-score calculado, precisamos comparar com o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 5%.
O valor crítico para 5% em um teste unilateral (direcional) é aproximadamente 1,645.
Como nosso z-score (10,70) é muito maior que 1,645, isso indica que a diferença observada é estatisticamente significativa.
Passo 5
Como o z-score calculado está muito acima do valor crítico, rejeitamos a hipótese nula (H₀). Isso significa que há evidências suficientes para afirmar, com 95% de confiança, que o custo de vida médio é superior a R$ 3.450,00.
Resposta
Sim, ao nível de significância de 5%, podemos afirmar que o custo de vida médio é superior ao informado pelo IBGE.
Exercícios relacionados
05-(dois pontos) Os dados a seguir foram obtidos à partir da planilha de cálculos ao comparar as vendas diárias de três pontos de vendas em sete dias do mês de maio/2024:
ANOVA - Fator único <br> Alfa | ||||||
Grupos | Contagem | Soma | Média | Variância | ||
Matriz | 7 | 262000 | 37428,6 | 50619047,6 | ||
Filial(1) | 7 | 244000 | 34857,1 | 18142857,1 | ||
Filial(2) | 7 | 199000 | 28428,6 | 40285714,2 | ||
Origem de variações | SS |
|
|
|
Valor
|
F crítico |
Entre grupos | 300857142,85714 | 2 | 150428571,4 | 4,1384 | 0,0332 | 3,555 |
Dentro dos grupos | 654285714,285714 | 18 | 36349206,3 | |||
Total | 955142857,142857 | 20 |
Segundo esses resultados, podemos afirmar que há diferenças entre as médias. Verifique entre quais médias há de fato diferenças
03-(dois pontos)Os dados a seguir representam uma amostragem aleatória do desempenho individual (unidades produzidas) dos funcionário da Indústria TTT nos turnos Vespertino e Noturno. Teste estatisticamente esses dados para verificar se há diferença estatística com
para a produtividade média dos períodos vespertino e noturno.
Vespertino
Vespertino
40 | 45 | 41 | 40 | 38 | 42 | 41 | 40 | 40 | 35 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
35 | 32 | 30 | 40 | 40 | 35 | 32 | 40 | 40 | 40 |
Noturno
39 | 44 | 41 | 40 | 39 | 42 | 45 | 40 | 40 | 35 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
38 | 37 | 35 | 40 | 40 | 35 | 37 | 40 | 40 | 40 |
04-(dois pontos)Verifique se podemos afirmar com
que há diferenças entre as médias de durabilidade (horas) do equipamento
segundo três fabricantes:
Fabria_1 | Fábrica_2 | Fábrica_3 | |
---|---|---|---|
3100 | 3766 | 3625 | |
3200 | 3512 | 3425 | |
3866 | 3519 | 3272 | |
3082 | 3769 | 3647 | |
3403 | 3365 | 3213 | |
3600 | 3608 | 3646 | |
2985 | 2951 | 3724 | |
3317 | 3564 | 3793 | |
3171 | 3653 | 3318 | |
3396 | 3396 | 3750 | |
3872 | 3813 | 3482 | |
3868 | 3902 | 3246 | |
média | 3405 | 3568 | 3512 |
desv.pad | 325 | 255 | 212 |
Dados os números complexos
e
, faça o que se pede:
d) Encontre o inverso multiplicativo de
d) Encontre o inverso multiplicativo de