02- (dois pontos)De acordo com o IBGE o custo de vida em uma determinada capital brasileira é em média de com variância de 122.500,00 (reais ao quadrado). Discordando dessa informação por achar que o custo médio é superior ao informado, a ONG Transparência identificou o custo de vida para 24 famílias escolhidas aleatoriamente. Podemos afirmar ao nível de significância de que a afirmação da ONG está correta?
4026 3102 3661 3975 3822 4168 4164 3528
4044 4534 3697 4048 4274 3605 4230 4143
4340 4634 4471 4246 3977 2753 4173 4468

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o custo de vida em uma capital brasileira. O IBGE disse que, em média, esse custo é de R$ 3.450,00 com uma variância de 122.500,00 reais ao quadrado. A ONG Transparência acha que esse valor está errado e acredita que o custo médio é maior. Eles coletaram dados de 24 famílias para investigar isso. Nosso objetivo aqui é verificar, com um nível de significância de 5%, se a ONG tem razão em afirmar que o custo de vida é superior ao informado pelo IBGE.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média da amostra das 24 famílias que a ONG pesquisou. Vamos somar todos os valores e dividir pelo número de famílias.
Os valores são:
4026, 3102, 3661, 3975, 3822, 4168, 4164, 3528, 4044, 4534, 3697, 4048, 4274, 3605, 4230, 4143, 4340, 4634, 4471, 4246, 3977, 2753, 4173, 4468.
Vamos somar todos esses números:
4026 + 3102 + 3661 + 3975 + 3822 + 4168 + 4164 + 3528 + 4044 + 4534 + 3697 + 4048 + 4274 + 3605 + 4230 + 4143 + 4340 + 4634 + 4471 + 4246 + 3977 + 2753 + 4173 + 4468 = 101.149
Agora, dividimos pela quantidade de famílias (24):
101.149 / 24 ≈ 4.214,54
Então, a média da amostra é aproximadamente R$ 4.214,54.

Passo 3

Agora, vamos realizar um teste de hipóteses para verificar se essa média amostral é significativamente maior que a média informada pelo IBGE (R$ 3.450,00).
Primeiro, estabelecemos nossas hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): μ = 3.450 (A média real é igual à informada pelo IBGE)
  • Hipótese alternativa (H₁): μ > 3.450 (A média real é maior que a informada pelo IBGE)
Como a variância populacional é conhecida (σ² = 122.500,00), usamos o teste z.
A fórmula para o z-score é:
Onde:
  • é a média da amostra (4.214,54)
  • é a média populacional sob H₀ (3.450,00)
  • é o desvio padrão populacional (\sqrt{122.500} = 350)
  • é o tamanho da amostra (24)
Vamos calcular:
Primeiro, calculamos o denominador:
Agora, o numerador:
Então:

Passo 4

Com o z-score calculado, precisamos comparar com o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância de 5%.
O valor crítico para 5% em um teste unilateral (direcional) é aproximadamente 1,645.
Como nosso z-score (10,70) é muito maior que 1,645, isso indica que a diferença observada é estatisticamente significativa.

Passo 5

Como o z-score calculado está muito acima do valor crítico, rejeitamos a hipótese nula (H₀). Isso significa que há evidências suficientes para afirmar, com 95% de confiança, que o custo de vida médio é superior a R$ 3.450,00.

Resposta

Sim, ao nível de significância de 5%, podemos afirmar que o custo de vida médio é superior ao informado pelo IBGE.

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05-(dois pontos) Os dados a seguir foram obtidos à partir da planilha de cálculos ao comparar as vendas diárias de três pontos de vendas em sete dias do mês de maio/2024:
ANOVA - Fator único <br> Alfa
Grupos Contagem Soma Média Variância
Matriz 7 262000 37428,6 50619047,6
Filial(1) 7 244000 34857,1 18142857,1
Filial(2) 7 199000 28428,6 40285714,2
Origem de variações SS Valor F crítico
Entre grupos 300857142,85714 2 150428571,4 4,1384 0,0332 3,555
Dentro dos grupos 654285714,285714 18 36349206,3
Total 955142857,142857 20
Segundo esses resultados, podemos afirmar que há diferenças entre as médias. Verifique entre quais médias há de fato diferenças
03-(dois pontos)Os dados a seguir representam uma amostragem aleatória do desempenho individual (unidades produzidas) dos funcionário da Indústria TTT nos turnos Vespertino e Noturno. Teste estatisticamente esses dados para verificar se há diferença estatística com para a produtividade média dos períodos vespertino e noturno.
Vespertino
40 45 41 40 38 42 41 40 40 35
35 32 30 40 40 35 32 40 40 40
Noturno
39 44 41 40 39 42 45 40 40 35
38 37 35 40 40 35 37 40 40 40
04-(dois pontos)Verifique se podemos afirmar com que há diferenças entre as médias de durabilidade (horas) do equipamento segundo três fabricantes:
Fabria_1 Fábrica_2 Fábrica_3
3100 3766 3625
3200 3512 3425
3866 3519 3272
3082 3769 3647
3403 3365 3213
3600 3608 3646
2985 2951 3724
3317 3564 3793
3171 3653 3318
3396 3396 3750
3872 3813 3482
3868 3902 3246
média 3405 3568 3512
desv.pad 325 255 212
Dados os números complexos e , faça o que se pede:
d) Encontre o inverso multiplicativo de