03-(dois pontos)Os dados a seguir representam uma amostragem aleatória do desempenho individual (unidades produzidas) dos funcionário da Indústria TTT nos turnos Vespertino e Noturno. Teste estatisticamente esses dados para verificar se há diferença estatística com alpha = 5 % para a produtividade média dos períodos vespertino e noturno.
Vespertino
40 45 41 40 38 42 41 40 40 35
35 32 30 40 40 35 32 40 40 40
Noturno
39 44 41 40 39 42 45 40 40 35
38 37 35 40 40 35 37 40 40 40

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se existe diferença estatística na produtividade média entre os turnos Vespertino e Noturno da Indústria TTT, usando um nível de significância de 5%. Isso significa que vamos comparar as médias das duas amostras para ver se realmente elas são diferentes ou se a diferença observada pode ser por acaso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Vespertino:
40, 45, 41, 40, 38, 42, 41, 40, 40, 35, 35, 32, 30, 40, 40, 35, 32, 40, 40, 40
Noturno:
39, 44, 41, 40, 39, 42, 45, 40, 40, 35, 38, 37, 35, 40, 40, 35, 37, 40, 40, 40

Passo 3

Vamos calcular a média e o desvio padrão de cada grupo. A média nos dá uma ideia do valor central, e o desvio padrão mostra como os dados estão espalhados em torno da média.
Cálculos para o turno Vespertino:
  • Soma dos valores: 40 + 45 + … + 40 = 777
  • Média ( ):
  • Vamos calcular o desvio padrão ( ) usando a fórmula:
Cálculos para o turno Noturno:
  • Soma dos valores: 39 + 44 + … + 40 = 785
  • Média ( ):
  • Desvio padrão ( ):
Obs.: Para simplificar, vamos considerar que os cálculos já foram feitos e temos:

Passo 4

Agora, vamos formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula ( ): As médias dos dois turnos são iguais. Ou seja, não há diferença na produtividade média.
  • Hipótese Alternativa ( ): As médias dos dois turnos são diferentes. Ou seja, há uma diferença na produtividade média.

Passo 5

Vamos usar o Teste t para duas amostras para comparar as médias. A fórmula do teste t é:
Onde:
  • e são as médias dos grupos Vespertino e Noturno.
  • e são os desvios padrão.
  • e são os tamanhos das amostras (20 cada).

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, precisamos determinar o valor crítico da distribuição t para um teste bilateral com e graus de liberdade aproximados. Usando uma tabela t ou calculadora, para (usando a fórmula de aproximação):
  • Valor crítico í

Passo 8

Comparando o valor calculado de com o valor crítico:
  • está dentro do intervalo a

Passo 9

Como o valor de está dentro do intervalo crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências estatísticas suficientes para afirmar que existe diferença na produtividade média entre os turnos Vespertino e Noturno ao nível de significância de 5%.

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