(a) Determine e interprete a derivada
.
(b) Com que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?
(b) Com que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou trata de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. A função dada é
. No item (a), precisamos encontrar a derivada dessa função, ou seja,
, e interpretar o que ela representa. Para isso, vamos lembrar que a derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada
. Para derivar cada termo da função
, aplicamos as regras básicas de derivação:
- A derivada de
é . - A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função.
- A derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso à nossa função:
Vamos derivar termo por termo:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Juntando tudo:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos interpretar o que ela significa. A derivada
nos indica a taxa de variação da população
em relação ao tempo
. Em outras palavras, ela nos diz o quão rápido a população está aumentando ou diminuindo em um determinado momento.
Passo 4
Vamos para o item (b). Precisamos encontrar a taxa de variação da população após 1 dia e após 10 dias. Isso significa que vamos calcular
e
.
Primeiro, substituímos
na derivada:
Então, a taxa de variação após 1 dia é de aproximadamente 10.012 unidades de população por dia.
Agora, substituímos
:
Portanto, a taxa de variação após 10 dias é de aproximadamente 319,470 unidades de população por dia.
Resposta
(a) A derivada de
é
, que representa a taxa de variação da população em relação ao tempo.
(b) A taxa de variação da população após 1 dia é de aproximadamente 10,012 unidades por dia, e após 10 dias é de aproximadamente 319,470 unidades por dia.