(a) Determine e interprete a derivada .
(b) Com que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você me enviou trata de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. A função dada é . No item (a), precisamos encontrar a derivada dessa função, ou seja, , e interpretar o que ela representa. Para isso, vamos lembrar que a derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada . Para derivar cada termo da função , aplicamos as regras básicas de derivação:
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função.
  • A derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso à nossa função:
Vamos derivar termo por termo:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
  1. Derivada de :
é
Juntando tudo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos interpretar o que ela significa. A derivada nos indica a taxa de variação da população em relação ao tempo . Em outras palavras, ela nos diz o quão rápido a população está aumentando ou diminuindo em um determinado momento.

Passo 4

Vamos para o item (b). Precisamos encontrar a taxa de variação da população após 1 dia e após 10 dias. Isso significa que vamos calcular e .
Primeiro, substituímos na derivada:
Então, a taxa de variação após 1 dia é de aproximadamente 10.012 unidades de população por dia.
Agora, substituímos :
Portanto, a taxa de variação após 10 dias é de aproximadamente 319,470 unidades de população por dia.

Resposta

(a) A derivada de é , que representa a taxa de variação da população em relação ao tempo.
(b) A taxa de variação da população após 1 dia é de aproximadamente 10,012 unidades por dia, e após 10 dias é de aproximadamente 319,470 unidades por dia.

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