Sabendo que
, calcule
.
Passo 1
Opa! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e usando propriedades das funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de limites e a propriedade de que o cosseno está sempre entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o que sabemos sobre a função cosseno. Sabemos que para qualquer valor,
sempre satisfaz a desigualdade:
No nosso caso, a
é
. Então, temos:
Isso significa que o valor de
nunca vai passar de
ou
, independente do valor de
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por
, que é sempre positivo ou zero:
Isso nos dá um “limite” para o valor de
.
Passo 4
Sabemos que, quando
se aproxima de
,
também se aproxima de
. Portanto,
tende a
.
Então, temos:
Dessa forma,
está “espremido” entre
e
, ambos tendendo a
.
Passo 5
Parece que estamos prontos para usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Convergência). Esse teorema nos diz que se uma função está limitada por duas outras que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.
No nosso caso:
E sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:
Resposta
O limite
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando
.
b)
b)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
i)
i)
Determine uma equação de uma circunferência que satisfaça as condições dadas. Centro na origem, passa por
(a) Determine e interprete a derivada
.
(b) Com que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?
(b) Com que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?