Sabendo que |cos (1 / y)| <= 1, calcule lim (x, y) (0,0) x cos 1 / y.

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e usando propriedades das funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de limites e a propriedade de que o cosseno está sempre entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que sabemos sobre a função cosseno. Sabemos que para qualquer valor, -1 <= cos(theta) <= 1 sempre satisfaz a desigualdade:
-1 <= cos(1y) <= 1
No nosso caso, a é . Então, temos:
Isso significa que o valor de nunca vai passar de ou , independente do valor de .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por -|x| <= x cos(1y) <= |x| , que é sempre positivo ou zero:
Isso nos dá um “limite” para o valor de .

Passo 4

Sabemos que, quando lim(x, y) to (0,0) -|x| = 0 se aproxima de lim(x, y) to (0,0) |x| = 0 , também se aproxima de . Portanto, tende a .
Então, temos:
Dessa forma, está “espremido” entre e , ambos tendendo a .

Passo 5

Parece que estamos prontos para usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Convergência). Esse teorema nos diz que se uma função está limitada por duas outras que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.
No nosso caso:
-|x| <= x cos(1y) <= |x|
E sabemos que:
lim(x, y) to (0,0) -|x| = lim(x, y) to (0,0) |x| = 0
Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:
lim(x, y) to (0,0) x cos(1y) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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