Sabendo que , calcule .

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse limite juntos. A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis e usando propriedades das funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de limites e a propriedade de que o cosseno está sempre entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que sabemos sobre a função cosseno. Sabemos que para qualquer valor, sempre satisfaz a desigualdade:
No nosso caso, a é . Então, temos:
Isso significa que o valor de nunca vai passar de ou , independente do valor de .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por , que é sempre positivo ou zero:
Isso nos dá um “limite” para o valor de .

Passo 4

Sabemos que, quando se aproxima de , também se aproxima de . Portanto, tende a .
Então, temos:
Dessa forma, está “espremido” entre e , ambos tendendo a .

Passo 5

Parece que estamos prontos para usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Convergência). Esse teorema nos diz que se uma função está limitada por duas outras que têm o mesmo limite, então a função também tem esse limite.
No nosso caso:
E sabemos que:
Portanto, pelo Teorema do Sanduíche:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções abaixo, não têm limites quando .
b)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
i)
Determine uma equação de uma circunferência que satisfaça as condições dadas. Centro na origem, passa por
(a) Determine e interprete a derivada .
(b) Com que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?