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Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de f quando (x, y) -> (0, 0) ou mostre que o limite não existe.
a) f(x, y) = (x^3 - x*y) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que é uma maneira mais fácil de lidar com limites em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar coordenadas cartesianas em coordenadas polares :
Aqui, é a distância até a origem e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na função usando essas fórmulas:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
ã
Denominador:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na função:
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por :

Passo 6

Agora, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 0 ( ):
O primeiro termo tende a 0 porque está indo para 0. Então, sobra:

Passo 7

Perceba que o resultado depende de . Isso significa que o valor do limite pode variar dependendo da direção pela qual se aproxima de . Por exemplo:
  • Se :
  • Se :
Como obtemos valores diferentes dependendo de , o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite de quando não existe, pois ele depende da direção pela qual se aproxima da origem.

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