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Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de
quando
ou mostre que o limite não existe.
a)
Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que é uma maneira mais fácil de lidar com limites em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
:
Aqui,
é a distância até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na função
usando essas fórmulas:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na função:
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 6
Agora, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 0 (
):
O primeiro termo
tende a 0 porque
está indo para 0. Então, sobra:
Passo 7
Perceba que o resultado depende de
. Isso significa que o valor do limite pode variar dependendo da direção pela qual
se aproxima de
. Por exemplo:
-
Se
: -
Se
:
Como obtemos valores diferentes dependendo de
, o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite de
quando
não existe, pois ele depende da direção pela qual
se aproxima da origem.