Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede pra encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto especificado. A curva é e o ponto dado é . A gente vai precisar usar derivadas pra achar a inclinação da reta tangente e depois montar a equação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é aquela que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele exato ponto. Para achar essa inclinação, a gente precisa calcular a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Vamos derivar . Sabemos que a derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Basta substituir na derivada:
Mas sabemos que no ponto :

Passo 5

Com , a equação da curva fica e a derivada simplifica para:
Então, a inclinação no ponto é:

Passo 6

Agora que temos a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

Exercícios relacionados

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Utilizando coordenadas polares, encontre o limite de quando ou mostre que o limite não existe.
a)
(a) Determine e interprete a derivada .
(b) Com que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?
onde e são constantes. Mostre que:
(a) é solução da EDO de Euler-Cauchy e que as soluções satisfazem
designa a massa, o coeficiente de amortecimento e o coeficiente de estiramento da mola e a força externa aplicada ao sistema. Suponha que e são constantes positivas, uma constante não negativa e
(a) Determine a solução geral da EDO quando que acontece com a solução quando ?
R.: onde