Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede pra encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto especificado. A curva é e o ponto dado é . A gente vai precisar usar derivadas pra achar a inclinação da reta tangente e depois montar a equação dessa reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é aquela que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele exato ponto. Para achar essa inclinação, a gente precisa calcular a derivada de em relação a , ou seja, .
Passo 3
Vamos derivar . Sabemos que a derivada de em relação a é . Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Basta substituir na derivada:
Mas sabemos que no ponto :
Passo 5
Com , a equação da curva fica e a derivada simplifica para:
Então, a inclinação no ponto é:
Passo 6
Agora que temos a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente: