Uma casca cilíndrica longa, de raio interno a e raio externo b, tem uma carga distribuída uniformemente no seu volume. A densidade volumétrica de cargas da casca cilíndrica é . Uma linha com uma densidade de cargas linear é colocada ao longo do eixo da casca cilíndrica. Determine o campo elétrico em todas as regiões ( e ).
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre uma casca cilíndrica bem longa, que tem um raio interno e um raio externo . Essa casca está carregada de maneira uniforme no seu volume, com uma densidade volumétrica de carga . Além disso, tem uma linha de carga passando pelo eixo da casca, com uma densidade linear de carga . Nosso objetivo aqui é descobrir o campo elétrico em três regiões diferentes: quando a distância do eixo é menor que (), entre e (), e quando é maior que ().
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria. Precisaremos entender como a carga está distribuída e como aplicá-la em diferentes regiões ao redor do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática :
Como temos simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com a casca original, com raio e comprimento . Isso simplifica nossos cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será perpendicular a ela.
Passo 3
Vamos analisar cada região separadamente começando por .
Região 1:
Aqui, nossa superfície gaussiana está dentro do espaço vazio entre o eixo e o início da casca cilíndrica. As únicas cargas presentes são a linha de carga no eixo e, se aplicável, a parte da casca que está dentro do raio .
No entanto, como a casca só começa a partir de , não há carga da casca dentro do nosso cilindro gaussiano. Assim, a única carga dentro da superfície gaussiana é a linha de carga no eixo.
A carga total dentro da superfície é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui, é a área lateral do cilindro gaussiano.
Resolvendo para :
Passo 4
Região 2:
Agora, nossa superfície gaussiana está dentro da casca cilíndrica, entre e . Precisamos considerar a carga da linha no eixo e a carga da casca que está dentro do raio da nossa superfície gaussiana.
Primeiro, a carga da linha no eixo continua a contribuir:
Além disso, dentro do raio , há uma parte da casca com volume e, portanto, uma carga:
A carga total dentro da superfície gaussiana é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando e resolvendo para :
Passo 5
Região 3:
Por fim, nossa superfície gaussiana está fora da casca cilíndrica. Aqui, devemos considerar toda a carga da linha no eixo e toda a carga da casca cilíndrica inteira.
A carga da linha no eixo é:
A carga total da casca cilíndrica é:
A carga total dentro da superfície gaussiana é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Resposta
O campo elétrico nas diferentes regiões é dado por: