- Uma casca cilíndrica longa, de raio interno a e raio externo b, tem uma carga distribuída uniformemente no seu volume. A densidade volumétrica de cargas da casca cilíndrica é
. Uma linha com uma densidade de cargas linear
é colocada ao longo do eixo da casca cilíndrica. Determine o campo elétrico em todas as regiões (
e
).
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre uma casca cilíndrica bem longa, que tem um raio interno
e um raio externo
. Essa casca está carregada de maneira uniforme no seu volume, com uma densidade volumétrica de carga
. Além disso, tem uma linha de carga passando pelo eixo da casca, com uma densidade linear de carga
. Nosso objetivo aqui é descobrir o campo elétrico
em três regiões diferentes: quando a distância
do eixo é menor que
(
), entre
e
(
), e quando é maior que
(
).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações com simetria. Precisaremos entender como a carga está distribuída e como aplicá-la em diferentes regiões ao redor do cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante eletrostática
:
Como temos simetria cilíndrica, vamos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro coaxial com a casca original, com raio
e comprimento
. Isso simplifica nossos cálculos porque o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será perpendicular a ela.
Passo 3
Vamos analisar cada região separadamente começando por
.
Região 1:
Aqui, nossa superfície gaussiana está dentro do espaço vazio entre o eixo e o início da casca cilíndrica. As únicas cargas presentes são a linha de carga no eixo e, se aplicável, a parte da casca que está dentro do raio
.
No entanto, como a casca só começa a partir de
, não há carga da casca dentro do nosso cilindro gaussiano. Assim, a única carga dentro da superfície gaussiana é a linha de carga no eixo.
A carga total dentro da superfície é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui,
é a área lateral do cilindro gaussiano.
Resolvendo para
:
Passo 4
Região 2:
Agora, nossa superfície gaussiana está dentro da casca cilíndrica, entre
e
. Precisamos considerar a carga da linha no eixo e a carga da casca que está dentro do raio
da nossa superfície gaussiana.
Primeiro, a carga da linha no eixo continua a contribuir:
Além disso, dentro do raio
, há uma parte da casca com volume
e, portanto, uma carga:
A carga total dentro da superfície gaussiana é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando e resolvendo para
:
Passo 5
Região 3:
Por fim, nossa superfície gaussiana está fora da casca cilíndrica. Aqui, devemos considerar toda a carga da linha no eixo e toda a carga da casca cilíndrica inteira.
A carga da linha no eixo é:
A carga total da casca cilíndrica é:
A carga total dentro da superfície gaussiana é então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico
nas diferentes regiões é dado por: