Um projétil é lançado de um prédio de 30 metros de altura, com uma velocidade inicial de 10 m / s e um ângulo de 60^circ em relação à horizontal. Determine:
a) A que distância do ponto de lançamento o projétil tocará o chão?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um projétil lançado de um prédio que tem 30 metros de altura. A velocidade inicial desse projétil é de e ele é lançado formando um ângulo de com a horizontal. O que precisamos descobrir é a distância horizontal que o projétil vai percorrer até tocar o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado, que envolve decompor a velocidade inicial em suas partes horizontal e vertical e aplicar as equações do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal e vertical. A velocidade inicial ( v0x = v0 cdot cos(theta) = 10 cdot cos(60^circ) = 10 cdot 0,5 = 5 , m/s ) é 10 m/s e o ângulo ( v0y = v0 cdot sin(theta) = 10 cdot sin(60^circ) approx 10 cdot 0,8660 = 8,66 , m/s ) é .
A componente horizontal ( ) é dada por:
A componente vertical ( ) é dada por:

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo que o projétil leva para tocar o chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical considerando a aceleração da gravidade ( y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2 ).
A posição vertical 0 = 30 + 8,66 cdot t - 4,9 cdot t^2 em função do tempo 4,9 t^2 - 8,66 t - 30 = 0 é dada por:
Onde:
  • (altura inicial)
  • (quando toca o chão)
Substituindo:
Organizando a equação:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar t = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usamos a fórmula de Bhaskara:
De
Onde:
  • t = 8,66 pm raiz6639,8 approx 8,66 pm 25,759,8
  • t approx 8,66 + 25,759,8 approx 34,419,8 approx 3,51 , s
Calculando o discriminante ( ):
Então:
Desprezamos a solução negativa, então:

Passo 5

Com o tempo de voo ( x = v0x cdot t = 5 cdot 3,51 approx 17,55 , m ) e a componente horizontal da velocidade ( ), podemos encontrar a distância horizontal ( ) percorrida:

Resposta

A distância horizontal que o projétil vai percorrer até tocar o chão é de aproximadamente 17,55 metros.

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