09)Em certa região do espaço, o potencial elétrico é V=5 x-3 x^2+2 y^2. Determine as expressões para as componentes x, y e z do campo elétrico nessa região. b) Qual é o módulo do campo elétrico em um ponto qualquer P , que tem as coordenadas ( 1,0,-2 ) (em metros)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática. A questão nos dá um potencial elétrico e pede para encontrar as componentes do campo elétrico ( ) nessa região. Além disso, precisamos calcular o módulo do campo elétrico em um ponto específico . Para isso, vamos precisar entender como relacionar o potencial elétrico com o campo elétrico usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que cada componente do campo elétrico é igual ao negativo da derivada parcial de em relação a cada coordenada. Vamos calcular cada componente.

Passo 3

Calculando Ex = -partial Vpartial x = -partialpartial x (5x - 3x^2 + 2y^2) = - (5 - 6x) = -5 + 6x :

Passo 4

Calculando Ey = -partial Vpartial y = -partialpartial y (5x - 3x^2 + 2y^2) = - (4y) = -4y :

Passo 5

Calculando Ez = -partial Vpartial z = 0 :
Como o potencial não depende de , sua derivada parcial em relação a é zero.

Passo 6

Agora, temos as expressões das componentes do campo elétrico:
Ex = -5 + 6x
Ey = -4y
Ez = 0

Passo 7

Para encontrar o módulo do campo elétrico no ponto Ex = -5 + 6(1) = -5 + 6 = 1 , vamos substituir os valores de Ey = -4(0) = 0 , Ez = 0 nas expressões das componentes:
Então, o vetor campo elétrico no ponto é .

Passo 8

O módulo do vetor |E| = raizEx^2 + Ey^2 + Ez^2 = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 = 1 , V/m é dado por:

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto é .

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