Em um dado instante, uma borboleta possui o vetor posição DI=(2,00 m) i+(3,00 m) j+(2,00 m) k em relação à base de um pequeno chafariz. Então, 40,0 s mais tarde, a borboleta possui o vetor posição Df=(3,00 m) i+(1,00 m) j+(2,00 m) k. Encontre: O ângulo que o vetor deslocamento forma com o sentido positivo do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de vetores na física. A borboleta está se movendo e a gente sabe onde ela estava no início e onde ela está depois de 40 segundos. Precisamos descobrir o ângulo que o vetor deslocamento dela faz com o sentido positivo do eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o vetor deslocamento e depois usar trigonometria para achar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor deslocamento da borboleta. O vetor deslocamento é simplesmente a diferença entre o vetor posição final ( D = Df - Di ) e o vetor posição inicial ( D = (3,00,m - 2,00,m),i + (1,00,m - 3,00,m),j + (2,00,m - 2,00,m),k ).
D = 1,00,m,i - 2,00,m,j + 0,00,m,k
Vamos calcular cada componente:
D = (1,00,m),i - (2,00,m),j
Então, o vetor deslocamento é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o magnitude (ou comprimento) do vetor deslocamento. Isso ajuda a entender o quanto a borboleta se moveu no total.
Usamos a fórmula da magnitude para vetores em 3D:
|D| = raizDx^2 + Dy^2 + Dz^2
Como |D| = raiz(1,00)^2 + (-2,00)^2 = raiz1 + 4 = raiz5 approx 2,24,m , simplificamos para:

Passo 4

Agora, precisamos achar o ângulo que esse vetor deslocamento faz com o eixo cos(theta) = Dx|D| . Para isso, usamos a definição do cosseno do ângulo entre o vetor e o eixo cos(theta) = 1,002,24 approx 0,446 :
Substituindo os valores:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o ângulo theta = arccos(0,446) approx 63,6^circ usando a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo que o vetor deslocamento forma com o sentido positivo do eixo é aproximadamente .

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