1. O potencial em um ponto P a uma distância a acima de uma extremidade de uma haste uniformemente carregada de comprimento 1 posicionada ao longo do eixo x é:
    V=ke Ql ln [l+raizy^2+l^2y]
    Encontre uma expressão para a componente y do campo elétrico em P.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma haste uniformemente carregada de comprimento 1 posicionada ao longo do eixo x, e nos é dado o potencial elétrico em um ponto que está a uma distância acima da extremidade da haste. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a componente do campo elétrico ( ) nesse ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação Ey = -partial Vpartial y . No caso bidimensional, isso significa que a componente do campo elétrico é dada por:
Então, precisamos calcular a derivada do potencial em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a expressão do potencial fornecida:
V = ke Ql ln [l + raizy^2 + l^2y]
Aqui, é a constante eletrostática, é a carga total, e é o comprimento da haste (que vale 1, conforme o problema).

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de ddy ln(f(y)) = f'(y)f(y) em relação a partial Vpartial y = ke Ql cdot ddy(l + raizy^2 + l^2y)l + raizy^2 + l^2y . Primeiro, identificamos que estamos lidando com uma função logarítmica, cuja derivada é:
Aplicando isso à nossa expressão:

Passo 5

Vamos simplificar a derivada dentro da fração. Calculando o numerador:
ddy(l + raizy^2 + l^2y) = 0 + yraizy^2 + l^2y - l + raizy^2 + l^2y^2 = yy raizy^2 + l^2 - l + raizy^2 + l^2y^2
Simplificando:
= 1raizy^2 + l^2 - l + raizy^2 + l^2y^2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da derivada:
partial Vpartial y = ke Ql cdot 1raizy^2 + l^2 - l + raizy^2 + l^2y^2l + raizy^2 + l^2y = ke Ql ( yraizy^2 + l^2 (l + raizy^2 + l^2) - l + raizy^2 + l^2y (l + raizy^2 + l^2) )
Simplificando mais:
= ke Ql ( yraizy^2 + l^2 (l + raizy^2 + l^2) - 1y )

Passo 7

Agora, aplicamos a relação do campo elétrico:
Ey = -partial Vpartial y
Portanto, substituindo a derivada que obtivemos:
Ey = -ke Ql ( yraizy^2 + l^2 (l + raizy^2 + l^2) - 1y )

Resposta

A componente Ey = -ke Ql ( yraizy^2 + l^2 (l + raizy^2 + l^2) - 1y ) do campo elétrico em é:

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