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potencial em um ponto
a uma distância a acima de uma extremidade de uma haste uniformemente carregada de comprimento 1 posicionada ao longo do eixo x é:
Encontre uma expressão para a componente y do campo elétrico em P.
Encontre uma expressão para a componente y do campo elétrico em P.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma haste uniformemente carregada de comprimento 1 posicionada ao longo do eixo x, e nos é dado o potencial elétrico
em um ponto
que está a uma distância
acima da extremidade da haste. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a componente
do campo elétrico (
) nesse ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação
. No caso bidimensional, isso significa que a componente
do campo elétrico é dada por:
Então, precisamos calcular a derivada do potencial
em relação a
.
Passo 3
Vamos escrever a expressão do potencial fornecida:
Aqui,
é a constante eletrostática,
é a carga total, e
é o comprimento da haste (que vale 1, conforme o problema).
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Primeiro, identificamos que estamos lidando com uma função logarítmica, cuja derivada é:
Aplicando isso à nossa expressão:
Passo 5
Vamos simplificar a derivada dentro da fração. Calculando o numerador:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, aplicamos a relação do campo elétrico:
Portanto, substituindo a derivada que obtivemos:
Resposta
A componente
do campo elétrico em
é: