(05) Um circuito em série, onde e é alimentado por uma bateria ideal com fem dada por que é ligada no instante . (a) Qual é a energia fornecida pela fonte durante os primeiros ? (b) Qual é a energia armazenada no campo magnético do indutor nesse mesmo intervalo? © Qual é a energia dissipada no resistor nesse mesmo intervalo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo juntos! Aqui a gente está lidando com um circuito RL em série, onde temos um resistor de resistência e um indutor com indutância . Ele é conectado a uma bateria com força eletromotriz (fem) de no instante . Precisamos calcular três coisas:
a) A energia fornecida pela fonte nos primeiros .
b) A energia armazenada no campo magnético do indutor nesse mesmo intervalo de tempo.
c) A energia dissipada no resistor nesse mesmo intervalo.
Pra resolver isso, vamos precisar entender como a corrente varia no tempo em um circuito RL quando a bateria é ligada, e como calcular as energias envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando ligamos uma bateria em um circuito RL, a corrente não atinge imediatamente o valor máximo, mas aumenta exponencialmente até estabilizar. A expressão para a corrente em função do tempo é dada por:
Aqui, é a fem da bateria, é a resistência, é a indutância, e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos calcular a corrente após . Primeiro, precisamos encontrar o tempo característico do circuito, que é :
Agora, substituindo os valores na expressão da corrente:
Calculando o expoente:
Então:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia fornecida pela fonte nos primeiros . A energia fornecida pela fonte é a integral da potência ao longo do tempo:
Substituindo :
Calculando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia armazenada no campo magnético do indutor nesse intervalo. A energia armazenada em um indutor é dada por:
Usando :

Passo 6

Por fim, vamos determinar a energia dissipada no resistor. A energia dissipada pelo resistor é a diferença entre a energia fornecida pela fonte e a energia armazenada no indutor:

Resposta

a) A energia fornecida pela fonte durante os primeiros é aproximadamente 20,7 J.
b) A energia armazenada no campo magnético do indutor nesse mesmo intervalo é aproximadamente 5,737 J.
c) A energia dissipada no resistor nesse mesmo intervalo é aproximadamente 14,96 J.

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.
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