(05) Um circuito R L em série, onde R=6,0 Omega e L=5,0 H é alimentado por uma bateria ideal com fem dada por E=10 V que é ligada no instante t=0. (a) Qual é a energia fornecida pela fonte durante os primeiros 2,0 s ? (b) Qual é a energia armazenada no campo magnético do indutor nesse mesmo intervalo? © Qual é a energia dissipada no resistor nesse mesmo intervalo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo juntos! Aqui a gente está lidando com um circuito RL em série, onde temos um resistor de resistência e um indutor com indutância . Ele é conectado a uma bateria com força eletromotriz (fem) de no instante . Precisamos calcular três coisas:
a) A energia fornecida pela fonte nos primeiros .
b) A energia armazenada no campo magnético do indutor nesse mesmo intervalo de tempo.
c) A energia dissipada no resistor nesse mesmo intervalo.
Pra resolver isso, vamos precisar entender como a corrente varia no tempo em um circuito RL quando a bateria é ligada, e como calcular as energias envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando ligamos uma bateria em um circuito RL, a corrente não atinge imediatamente o valor máximo, mas aumenta exponencialmente até estabilizar. A expressão para a corrente I(t) = ER (1 - e^-RL t) em função do tempo é dada por:
Aqui, é a fem da bateria, é a resistência, é a indutância, e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos calcular a corrente após tau = 5,0 , H6,0 , Omega approx 0,833 , s . Primeiro, precisamos encontrar o tempo característico do circuito, que é I(2,0) = 10 , V6,0 , Omega (1 - e^-6,05,0 times 2,0) :
-6,05,0 times 2,0 = -2,4
Agora, substituindo os valores na expressão da corrente:
I(2,0) = 106 (1 - e^-2,4)
Calculando o expoente:
I(2,0) approx 106 times (1 - 0,0907) approx 106 times 0,9093 approx 1,515 , A
Então:
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia fornecida pela fonte nos primeiros Efornecida = integral0^2,0 E cdot I(t) , dt . A energia fornecida pela fonte é a integral da potência ao longo do tempo:
Efornecida = E integral0^2,0 ER (1 - e^-RL t) dt = E^2R (t + LR e^-RL t) gr|0^2,0
Substituindo Efornecida = 10^26 (2,0 + 5,06,0 e^-2,4 - 0 - 5,06,0 times 1) :
Efornecida = 1006 (2,0 + 0,833 times 0,0907 - 0,833) approx 16,6667 (2,0 + 0,0755 - 0,833)
Calculando:
Efornecida approx 16,6667 times 1,242 approx 20,7 , J

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia armazenada no campo magnético do indutor nesse intervalo. A energia armazenada em um indutor é dada por:
Eindutor = 12 L I^2(t)
Usando Eindutor = 12 times 5,0 , H times (1,515)^2 approx 2,5 times 2,295 approx 5,737 , J :

Passo 6

Por fim, vamos determinar a energia dissipada no resistor. A energia dissipada pelo resistor é a diferença entre a energia fornecida pela fonte e a energia armazenada no indutor:
Eresistor = Efornecida - Eindutor approx 20,7 , J - 5,737 , J approx 14,96 , J

Resposta

a) A energia fornecida pela fonte durante os primeiros é aproximadamente 20,7 J.
b) A energia armazenada no campo magnético do indutor nesse mesmo intervalo é aproximadamente 5,737 J.
c) A energia dissipada no resistor nesse mesmo intervalo é aproximadamente 14,96 J.

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