Em uma certa região com
e
, o campo magnético de uma onda EM é dado por
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e o
correspondente utilizando as equações de Maxwell.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre ondas eletromagnéticas. Nos foi dado o campo magnético de uma onda EM em uma região específica com σ = 0, μ = μ₀ e ε = 6,25 ε₀. Nosso objetivo é encontrar o número de onda β e o campo elétrico correspondente E usando as equações de Maxwell.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que cada símbolo representa:
- σ = 0: Isso significa que a condutividade elétrica da região é zero, ou seja, o meio é dielétrico.
- μ = μ₀: A permeabilidade magnética do meio é igual à permeabilidade do vácuo.
- ε = 6,25 ε₀: A permissividade elétrica do meio é 6,25 vezes a permissividade do vácuo.
- A expressão do campo magnético é dada por:
Passo 3
Para encontrar o número de onda β, precisamos usar a relação que liga o número de onda à permissividade e permeabilidade do meio. A fórmula geral para o número de onda em um meio é:
Onde:
- ω é a frequência angular da onda.
- μ é a permeabilidade magnética do meio.
- ε é a permissividade elétrica do meio.
Passo 4
Vamos identificar os valores que temos:
- A frequência angular ω é dada na expressão do campo magnético: 10⁸ rad/s.
- μ = μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m.
- ε = 6,25 ε₀ = 6,25 × 8,85 × 10⁻¹² F/m.
Passo 5
Primeiro, calculamos o produto με:
Vamos calcular isso:
Passo 6
Agora, calculamos β usando a fórmula:
Calculando a raiz quadrada:
Então:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o campo elétrico E correspondente. Sabemos que, em uma onda eletromagnética, os campos E e H estão relacionados pela impedância do meio, η, dada por:
E a relação entre E e H é:
Onde k é o vetor de propagação da onda.
Passo 8
Primeiro, calculamos a impedância η:
Calculando os valores numéricos:
Passo 9
Sabendo que o vetor de propagação k está na direção x e que H está na direção a₂ (que assumimos ser y), podemos usar a regra da mão direita para encontrar a direção de E. Neste caso, E estará na direção a₃ (z).
Então, a expressão para E será:
Substituindo o valor de η:
Resposta
O número de onda é
e o campo elétrico correspondente é