Em uma certa região com sigma=0, mu=muo e varepsilon=6,25 varepsilono, o campo magnético de uma onda EM é dado por
H=0,6 cos beta x cos 10^8 t a2 A / m
Encontre beta e o E correspondente utilizando as equações de Maxwell.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre ondas eletromagnéticas. Nos foi dado o campo magnético de uma onda EM em uma região específica com σ = 0, μ = μ₀ e ε = 6,25 ε₀. Nosso objetivo é encontrar o número de onda β e o campo elétrico correspondente E usando as equações de Maxwell.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que cada símbolo representa:
  • σ = 0: Isso significa que a condutividade elétrica da região é zero, ou seja, o meio é dielétrico.
  • μ = μ₀: A permeabilidade magnética do meio é igual à permeabilidade do vácuo.
  • ε = 6,25 ε₀: A permissividade elétrica do meio é 6,25 vezes a permissividade do vácuo.
  • A expressão do campo magnético é dada por: H = 0,6 cos(beta x) cos(10^8 t) a2 , A/m

Passo 3

Para encontrar o número de onda β, precisamos usar a relação que liga o número de onda à permissividade e permeabilidade do meio. A fórmula geral para o número de onda em um meio é:
beta = omega raizmu varepsilon
Onde:
  • ω é a frequência angular da onda.
  • μ é a permeabilidade magnética do meio.
  • ε é a permissividade elétrica do meio.

Passo 4

Vamos identificar os valores que temos:
  • A frequência angular ω é dada na expressão do campo magnético: 10⁸ rad/s.
  • μ = μ₀ = 4π × 10⁻⁷ H/m.
  • ε = 6,25 ε₀ = 6,25 × 8,85 × 10⁻¹² F/m.

Passo 5

Primeiro, calculamos o produto με:
mu varepsilon = mu0 times 6,25 varepsilon0 = (4pi times 10^-7) times (6,25 times 8,85 times 10^-12)
Vamos calcular isso:
mu varepsilon = 4pi times 6,25 times 8,85 times 10^-19 = 4pi times 55,3125 times 10^-19 approx 6,945 times 10^-17 , H·F/m² ²

Passo 6

Agora, calculamos β usando a fórmula:
beta = omega raizmu varepsilon = 10^8 times raiz6,945 times 10^-17
Calculando a raiz quadrada:
raiz6,945 times 10^-17 approx 8,34 times 10^-9 , rad/m
Então:
beta = 10^8 times 8,34 times 10^-9 = 0,834 , rad/m

Passo 7

Agora, vamos encontrar o campo elétrico E correspondente. Sabemos que, em uma onda eletromagnética, os campos E e H estão relacionados pela impedância do meio, η, dada por:
eta = raizmuvarepsilon
E a relação entre E e H é:
E = eta , H times k
Onde k é o vetor de propagação da onda.

Passo 8

Primeiro, calculamos a impedância η:
eta = raizmu06,25 varepsilon0 = raiz4pi times 10^-76,25 times 8,85 times 10^-12
Calculando os valores numéricos:
eta approx raiz1,2566 times 10^-65,53125 times 10^-11 approx raiz2,275 times 10^4 approx 151 , Omega

Passo 9

Sabendo que o vetor de propagação k está na direção x e que H está na direção a₂ (que assumimos ser y), podemos usar a regra da mão direita para encontrar a direção de E. Neste caso, E estará na direção a₃ (z).
Então, a expressão para E será:
E = eta times 0,6 cos(beta x) cos(10^8 t) a3 , V/m
Substituindo o valor de η:
E = 151 times 0,6 cos(0,834 x) cos(10^8 t) a3 approx 90,6 cos(0,834 x) cos(10^8 t) a3 , V/m

Resposta

O número de onda é beta = 0,834 , rad/m e o campo elétrico correspondente é
E = 90,6 cos(0,834 , x) cos(10^8 , t) a3 , V/m

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