(05) Duas bobinas separadas por uma distância R igual ao seu raio comum e percorridas por correntes de mesma intensidade e sentido são conhecidas como bobinas de Helmholtz. Uma característica desse arranjo é que o campo magnético resultante entre as bobinas é extremamente uniforme. Suponha R=10 cm, I=20 A e N=300 espiras para as duas bobinas. Uma das bobinas está no plano yz, com centro na origem, e a outra em um plano paralelo ao primeiro, passando pelo ponto x=10 cm. (b) Faça um gráfico de Bx em função de x / R.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos duas bobinas de Helmholtz, que são duas bobinas circulares com o mesmo raio $ R $ e separadas também por $ R $. Ambas têm a mesma intensidade de corrente $ I = 20 , A $ e cada uma possui $ N = 300 $ espiras. Queremos fazer um gráfico do campo magnético na direção $ x $ ($ B_x $) em função de $ x/R $.
Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula do campo magnético criado por uma bobina circular no ponto ao longo de seu eixo. Também vamos precisar somar os campos magnéticos das duas bobinas, já que elas contribuem para o campo total no espaço entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a expressão para o campo magnético no eixo de uma bobina circular. A fórmula é:
B = mu0 N I R^22 (R^2 + x^2)^3/2
Aqui:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $),
  • $ N $ é o número de espiras,
  • $ I $ é a corrente,
  • $ R $ é o raio da bobina,
  • $ x $ é a distância ao longo do eixo.

Passo 3

Como temos duas bobinas de Helmholtz, ambas percoridas por corrente no mesmo sentido, o campo magnético total $ B_x $ no ponto $ x $ é a soma dos campos das duas bobinas. A segunda bobina está localizada no ponto $ x = R $, então para ela, a distância em relação a um ponto $ x $ será $ x - R $. A expressão fica:
Bx

Passo 4

Vamos simplificar a expressão usando a relação $ x/R $. Vamos definir $ \xi = x/R $, o que nos dá $ x = \xi R $. Substituindo na fórmula:
x/R
Simplificando mais:
xi = x/R

Passo 5

Para fazer o gráfico de $ B_x $ em função de $ \xi = x/R $, precisamos calcular os valores de $ B_x $ para diferentes valores de $ \xi $. Considerando os valores dados:
  • $ R = 10 , cm $,
  • $ I = 20 , A $,
  • $ N = 300 $.
Vamos usar a expressão simplificada para $ B_x $ e calcular para diversos valores de $ \xi $, por exemplo, de $ \xi = -2 $ a $ \xi = 3 $.

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula para obter os valores de $ B_x $:
Bx
Calculando o fator constante:
Bx = 4pi times 10^-7 times 300 times 202 times 0.1 [ 1(1 + xi^2)^3/2 + 1(2 - 2xi + xi^2)^3/2 ]
Então:
4pi times 10^-7 times 300 times 202 times 0.1 = 4pi times 10^-7 times 60000.2 = 4pi times 10^-7 times 60000.2 = 7.54 times 10^-3 , T

Resposta

O gráfico de $ B_x $ em função de $ x/R $ apresenta uma distribuição simétrica e altamente uniforme entre as bobinas de Helmholtz. No centro ($ \xi = 0.5 $), o campo magnético atinge seu valor máximo e diminui gradualmente à medida que nos afastamos desse ponto em ambas as direções. A curva resultante é suave e plana na região central, confirmando a característica de uniformidade do campo magnético nesse arranjo.

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