(09) No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, um elétron no estado fundamental gira em torno de um próton a uma distância de
. Em um referencial no qual o elétron se encontra em repouso, o próton gira em torno do elétron a uma distância de
com a mesma velocidade angular que o elétron no referencial em que o próton se encontra em repouso. (b) Determine a diferença de energia entre as duas orientações possíveis do momento magnético intrínseco do elétron, paralelo ou antiparalelo ao campo magnético devido ao movimento aparente do próton. Esta diferença de energia é conhecida como desdobramento fino.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, especificamente o elétron no estado fundamental girando em torno do próton. Precisamos encontrar a diferença de energia quando o momento magnético do elétron está paralelo ou antiparalelo ao campo magnético criado pelo próton em movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetismo e energia magnética.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. No referencial onde o elétron está em repouso, o próton está se movendo em uma órbita circular de raio $ r = 5,29 \times 10^{-11} $ m. Esse movimento do próton gera um campo magnético no local onde está o elétron.
Passo 3
Para calcular o campo magnético ($ B $) gerado pelo próton, usamos a fórmula do campo magnético para uma carga em movimento circular:
Onde:
- $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $ é a permeabilidade do vácuo,
- $ q = e = 1,6 \times 10^{-19} , C $ é a carga do próton,
- $ v $ é a velocidade do próton,
- $ r $ é o raio da órbita.
Passo 4
Precisamos encontrar a velocidade $ v $ do próton. No referencial do elétron, o próton está sujeito à força eletrostática de atração:
Essa força fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:
Igualando as duas expressões:
Resolvendo para $ v $:
Passo 5
Agora, substituímos $ v $ na expressão do campo magnético:
Isso pode ser simplificado, mas para continuar, vamos calcular numericamente.
Passo 6
Antes de calcular numéricamente, vamos lembrar que a energia magnética ($ E
\mu
B $) é dada por:
No caso, temos duas orientações possíveis: paralelo e antiparalelo, então a diferença de energia ($ \Delta E $) será:
Passo 7
O momento magnético intrínseco do elétron ($ \mu_e $) está relacionado ao seu momento angular de spin:
Onde $ g \approx 2 $ é o fator giromagnético do elétron, $ m_e $ é a massa do elétron, e $ S $ é o momento angular de spin. Para simplificação, usamos $ \mu_e \approx \frac{e\hbar}{2m_e} $.
Passo 8
Agora, substituímos $ \mu_e $ e $ B $ na expressão da diferença de energia:
Passo 9
Finalmente, substituímos todos os valores conhecidos e calculamos $ \Delta E $. Considerando constantes físicas:
- $ e = 1,6 \times 10^{-19} , C $,
- $ \hbar = 1,05 \times 10^{-34} , J\cdots $,
- $ m_e = 9,11 \times 10^{-31} , kg $,
- $ \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $,
- $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $,
- $ r = 5,29 \times 10^{-11} , m $.
Calculando $ B $ e depois $ \Delta E $:
Convertendo para elétron-volt (1 eV =
J):
Resposta
A diferença de energia entre as duas orientações possíveis do momento magnético intrínseco do elétron é aproximadamente $ \Delta E \approx 4,75 \times 10^{-5} , eV $.