(09) No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, um elétron no estado fundamental gira em torno de um próton a uma distância de 5,29 times 10^-11 m. Em um referencial no qual o elétron se encontra em repouso, o próton gira em torno do elétron a uma distância de 5,29 times 10^-11 m com a mesma velocidade angular que o elétron no referencial em que o próton se encontra em repouso. (b) Determine a diferença de energia entre as duas orientações possíveis do momento magnético intrínseco do elétron, paralelo ou antiparalelo ao campo magnético devido ao movimento aparente do próton. Esta diferença de energia é conhecida como desdobramento fino.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, especificamente o elétron no estado fundamental girando em torno do próton. Precisamos encontrar a diferença de energia quando o momento magnético do elétron está paralelo ou antiparalelo ao campo magnético criado pelo próton em movimento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de magnetismo e energia magnética.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. No referencial onde o elétron está em repouso, o próton está se movendo em uma órbita circular de raio $ r = 5,29 \times 10^{-11} $ m. Esse movimento do próton gera um campo magnético no local onde está o elétron.

Passo 3

Para calcular o campo magnético ($ B $) gerado pelo próton, usamos a fórmula do campo magnético para uma carga em movimento circular:
B
Onde:
  • $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $ é a permeabilidade do vácuo,
  • $ q = e = 1,6 \times 10^{-19} , C $ é a carga do próton,
  • $ v $ é a velocidade do próton,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 4

Precisamos encontrar a velocidade $ v $ do próton. No referencial do elétron, o próton está sujeito à força eletrostática de atração:
v
Essa força fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular:
F = e^24piepsilon0 r^2
Igualando as duas expressões:
F = mv^2r
Resolvendo para $ v $:
e^24piepsilon0 r^2 = mv^2r

Passo 5

Agora, substituímos $ v $ na expressão do campo magnético:
v
Isso pode ser simplificado, mas para continuar, vamos calcular numericamente.

Passo 6

Antes de calcular numéricamente, vamos lembrar que a energia magnética ($ E E é \mu mu é B $) é dada por:
B
No caso, temos duas orientações possíveis: paralelo e antiparalelo, então a diferença de energia ($ \Delta E $) será:
E = -mu cdot B

Passo 7

O momento magnético intrínseco do elétron ($ \mu_e $) está relacionado ao seu momento angular de spin:
mue
Onde $ g \approx 2 $ é o fator giromagnético do elétron, $ m_e $ é a massa do elétron, e $ S $ é o momento angular de spin. Para simplificação, usamos $ \mu_e \approx \frac{e\hbar}{2m_e} $.

Passo 8

Agora, substituímos $ \mu_e $ e $ B $ na expressão da diferença de energia:
mue

Passo 9

Finalmente, substituímos todos os valores conhecidos e calculamos $ \Delta E $. Considerando constantes físicas:
  • $ e = 1,6 \times 10^{-19} , C $,
  • $ \hbar = 1,05 \times 10^{-34} , J\cdots $,
  • $ m_e = 9,11 \times 10^{-31} , kg $,
  • $ \epsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} , C2/\text{N}\cdot\text{m}2 $,
  • $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $,
  • $ r = 5,29 \times 10^{-11} , m $.
Calculando $ B $ e depois $ \Delta E $:
De
e = 1,6 times 10^-19 , C
hbar = 1,05 times 10^-34 , Jcdots
Convertendo para elétron-volt (1 eV = me = 9,11 times 10^-31 , kg J):
epsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2

Resposta

A diferença de energia entre as duas orientações possíveis do momento magnético intrínseco do elétron é aproximadamente $ \Delta E \approx 4,75 \times 10^{-5} , eV $.

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