(09) No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, um elétron no estado fundamental gira em torno de um próton a uma distância de 5,29 times 10^-11 m. Em um referencial no qual o elétron se encontra em repouso, o próton gira em torno do elétron a uma distância de 5,29 times 10^-11 m com a mesma velocidade angular que o elétron no referencial em que o próton se encontra em repouso. (a) Qual o valor do campo magnético na posição do elétron devido ao movimento do próton?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio, girando em torno de um próton a uma distância de 5,29 times 10^-11 metros. Queremos descobrir qual é o campo magnético na posição do elétron causado pelo movimento do próton quando olhamos de um referencial onde o elétron está parado.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a fórmula do campo magnético gerado por uma carga em movimento. Vamos passo a passo entender isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma carga elétrica se move, ela cria um campo magnético ao seu redor. A fórmula que nos dá o campo magnético ( B) gerado por uma carga ( q) em movimento com velocidade ( v) em uma distância ( r) é dada por:
B = mu04pi cdot q cdot vr^2
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo, que vale 4pi times 10^-7 T·m/A.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos na questão:
  • A carga do próton ( q) é a carga elementar, que é 1,6 times 10^-19 C.
  • A distância ( r) entre o próton e o elétron é 5,29 times 10^-11 m.
  • Precisamos encontrar a velocidade ( v) do próton.
Para achar v, usamos a ideia do modelo de Bohr, onde a velocidade angular ( omega) está relacionada com a velocidade linear pela fórmula:
v = omega cdot r
Mas primeiro, vamos encontrar a velocidade angular usando a fórmula de Bohr para o estado fundamental:
omega = e^22 hbar
Aqui, e é a carga elementar e hbar é a constante de Planck reduzida, que é aproximadamente 1,054 times 10^-34 J·s.

Passo 4

Vamos calcular omega:
omega = (1,6 times 10^-19, C)^22 times 1,054 times 10^-34, J·s = 2,56 times 10^-38, C^22,108 times 10^-34, J·s approx 1,215 times 10^-4, rad/s
Agora, com omega conhecida, podemos encontrar a velocidade v:
v = omega cdot r = 1,215 times 10^-4, rad/s times 5,29 times 10^-11, m approx 6,42 times 10^-15, m/s

Passo 5

Agora que temos todos os valores necessários, vamos substituir na fórmula do campo magnético:
B = mu04pi cdot q cdot vr^2 = 4pi times 10^-7, T·m/A4pi cdot 1,6 times 10^-19, C times 6,42 times 10^-15, m/s(5,29 times 10^-11, m)^2
Simplificando:
B = 10^-7, T·m/A cdot 1,6 times 10^-19, C times 6,42 times 10^-15, m/s2,80 times 10^-21, m^2 approx 10^-7 cdot 1,027 times 10^-332,80 times 10^-21 approx 10^-7 cdot 3,67 times 10^-13 approx 3,67 times 10^-20, T

Resposta

O campo magnético na posição do elétron devido ao movimento do próton é aproximadamente 3,67 times 10^-20 tesla.

Exercícios relacionados