Um projétil é lançado de um prédio de 30 metros de altura, com uma velocidade inicial de 10 m / s e um ângulo de 60^circ em relação à horizontal. Determine:
b) Qual o módulo da velocidade do projétil quando ele tocar o chão?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um projétil lançado de um prédio que tem 30 metros de altura. A velocidade inicial do projétil é de 10 , m/s e ele é lançado com um ângulo de 60^circ em relação à horizontal. O que precisamos descobrir é qual é a velocidade do projétil quando ele toca o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a velocidade inicial em duas componentes: horizontal ( vx) e vertical ( vy). Isso é importante porque a velocidade horizontal permanece constante durante todo o movimento (já que não estamos considerando a resistência do ar), enquanto a velocidade vertical muda devido à aceleração da gravidade.
A componente horizontal é calculada usando o cosseno do ângulo:
vx = v0 cdot cos(theta)
E a componente vertical usando o seno do ângulo:
vy = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0 é a velocidade inicial ( 10 , m/s)
  • theta é o ângulo de lançamento ( 60^circ)

Passo 3

Vamos calcular essas componentes:
vx = 10 cdot cos(60^circ) = 10 cdot 0,5 = 5 , m/s
vy = 10 cdot sin(60^circ) approx 10 cdot 0,8660 approx 8,66 , m/s
Então, a velocidade horizontal é 5 , m/s e a velocidade vertical inicial é aproximadamente 8,66 , m/s.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a velocidade vertical do projétil no momento em que ele toca o chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical sob a ação da gravidade:
vy = vy0 + a cdot t
Onde:
  • vy0 é a velocidade vertical inicial ( 8,66 , m/s)
  • a é a aceleração devido à gravidade ( -9,8 , m/s^2, o sinal negativo indica que a gravidade está puxando para baixo)
  • t é o tempo de queda
Mas primeiro, precisamos descobrir quanto tempo leva para o projétil tocar o chão. Para isso, usamos a equação da posição vertical:
y = y0 + vy0 cdot t + 12 a cdot t^2
Sabemos que:
  • y0 = 30 , m (altura do prédio)
  • y = 0 , m (quando toca o chão)
Então:
0 = 30 + 8,66 cdot t - 4,9 cdot t^2

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para encontrar t:
4,9 cdot t^2 - 8,66 cdot t - 30 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 4,9
  • b = -8,66
  • c = -30
Calculando o discriminante:
De
Então:
t = 8,66 pm raiz6639,8 approx 8,66 pm 25,759,8
Consideramos apenas o tempo positivo:
t approx 8,66 + 25,759,8 approx 34,419,8 approx 3,51 , s

Passo 6

Agora que temos o tempo de queda ( t approx 3,51 , s), podemos encontrar a velocidade vertical no momento do impacto:
vy = 8,66 + (-9,8) cdot 3,51 approx 8,66 - 34,50 approx -25,84 , m/s
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.

Passo 7

Finalmente, para encontrar o módulo da velocidade total no impacto, combinamos as componentes horizontal e vertical:
v = raizvx^2 + vy^2 = raiz5^2 + (-25,84)^2 = raiz25 + 667,17 = raiz692,17 approx 26,3 , m/s

Resposta

O módulo da velocidade do projétil quando ele tocar o chão é aproximadamente 26,3 , m/s.

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