Um projétil é lançado de um prédio de 30 metros de altura, com uma velocidade inicial de e um ângulo de em relação à horizontal. Determine:
b) Qual o módulo da velocidade do projétil quando ele tocar o chão?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um projétil lançado de um prédio que tem 30 metros de altura. A velocidade inicial do projétil é de e ele é lançado com um ângulo de em relação à horizontal. O que precisamos descobrir é qual é a velocidade do projétil quando ele toca o chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a velocidade inicial em duas componentes: horizontal ( ) e vertical ( ). Isso é importante porque a velocidade horizontal permanece constante durante todo o movimento (já que não estamos considerando a resistência do ar), enquanto a velocidade vertical muda devido à aceleração da gravidade.
A componente horizontal é calculada usando o cosseno do ângulo:
E a componente vertical usando o seno do ângulo:
Onde:
  • é a velocidade inicial ( )
  • é o ângulo de lançamento ( )

Passo 3

Vamos calcular essas componentes:
Então, a velocidade horizontal é e a velocidade vertical inicial é aproximadamente .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a velocidade vertical do projétil no momento em que ele toca o chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical sob a ação da gravidade:
Onde:
  • é a velocidade vertical inicial ( )
  • é a aceleração devido à gravidade ( , o sinal negativo indica que a gravidade está puxando para baixo)
  • é o tempo de queda
Mas primeiro, precisamos descobrir quanto tempo leva para o projétil tocar o chão. Para isso, usamos a equação da posição vertical:
Sabemos que:
  • (altura do prédio)
  • (quando toca o chão)
Então:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para encontrar :
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante:
Então:
Consideramos apenas o tempo positivo:

Passo 6

Agora que temos o tempo de queda ( ), podemos encontrar a velocidade vertical no momento do impacto:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo.

Passo 7

Finalmente, para encontrar o módulo da velocidade total no impacto, combinamos as componentes horizontal e vertical:

Resposta

O módulo da velocidade do projétil quando ele tocar o chão é aproximadamente .

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