Se
, mostre que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos um número
entre 0 e 1 (ou seja,
), então
é sempre menor ou igual a
para todo número natural
. A matéria envolvida aqui é Álgebra, especificamente propriedades de potências. Para resolver, vamos usar o conceito de potenciação e como números entre 0 e 1 se comportam quando são elevados a potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que estamos multiplicando
por ele mesmo
vezes. Por exemplo, se
, então
.
Passo 3
Agora, como
, isso significa que
é um número positivo menor que 1. Quando multiplicamos um número entre 0 e 1 por ele mesmo, o resultado fica ainda menor. Por exemplo, se
, então
, que é menor que 0.5.
Passo 4
De maneira geral, para qualquer
, cada multiplicação adicional de
diminui o valor total, porque estamos multiplicando um número menor que 1 por ele mesmo. Isso faz com que
se torne progressivamente menor à medida que
aumenta.
Passo 5
Portanto, como
é sempre o produto de
multiplicado por ele mesmo
vezes, e cada multiplicação reduz o valor, concluímos que:
Resposta
Para todo
, temos que
quando
.