Se 0 < a < 1, mostre que a^n <= a para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se temos um número entre 0 e 1 (ou seja, ), então é sempre menor ou igual a para todo número natural . A matéria envolvida aqui é Álgebra, especificamente propriedades de potências. Para resolver, vamos usar o conceito de potenciação e como números entre 0 e 1 se comportam quando são elevados a potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que estamos multiplicando por ele mesmo vezes. Por exemplo, se , então .

Passo 3

Agora, como , isso significa que é um número positivo menor que 1. Quando multiplicamos um número entre 0 e 1 por ele mesmo, o resultado fica ainda menor. Por exemplo, se , então , que é menor que 0.5.

Passo 4

De maneira geral, para qualquer , cada multiplicação adicional de diminui o valor total, porque estamos multiplicando um número menor que 1 por ele mesmo. Isso faz com que se torne progressivamente menor à medida que aumenta.

Passo 5

Portanto, como é sempre o produto de multiplicado por ele mesmo vezes, e cada multiplicação reduz o valor, concluímos que:

Resposta

Para todo , temos que quando .

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