Se
, mostre que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se
, então
para todo número natural
. Vamos usar conceitos de exponenciação e desigualdades para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
é um número maior que 1, como 2, 3, 4, etc. Quando a base de uma potência é maior que 1, à medida que o expoente aumenta, o valor da potência também aumenta.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso em que
. Se substituirmos na expressão, temos:
Isso mostra que, quando
,
é igual a
. Então, a desigualdade
é verdadeira nesse caso.
Passo 4
Vamos considerar agora
, ou seja,
é 2, 3, 4, e assim por diante. Como
, ao elevar
a uma potência maior que 1, o resultado será maior que
. Por exemplo:
Já que
, multiplicar
por ele mesmo aumenta o valor.
Passo 5
De forma geral, para qualquer
onde
, a relação
se mantém verdadeira porque cada multiplicação adicional pelo
aumenta o valor da potência, mantendo-a sempre maior ou igual a
.
Resposta
Portanto, mostramos que para todo
, se
, então
.