Se a > 1, mostre que a^n ≥ a para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se , então para todo número natural . Vamos usar conceitos de exponenciação e desigualdades para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que é um número maior que 1, como 2, 3, 4, etc. Quando a base de uma potência é maior que 1, à medida que o expoente aumenta, o valor da potência também aumenta.

Passo 3

Agora, vamos analisar o caso em que . Se substituirmos na expressão, temos:
Isso mostra que, quando , é igual a . Então, a desigualdade é verdadeira nesse caso.

Passo 4

Vamos considerar agora , ou seja, é 2, 3, 4, e assim por diante. Como , ao elevar a uma potência maior que 1, o resultado será maior que . Por exemplo:
Já que , multiplicar por ele mesmo aumenta o valor.

Passo 5

De forma geral, para qualquer onde , a relação se mantém verdadeira porque cada multiplicação adicional pelo aumenta o valor da potência, mantendo-a sempre maior ou igual a .

Resposta

Portanto, mostramos que para todo , se , então .

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