Dados números reais a e b, tais que a - epsilon < b, para todo epsilon > 0, mostre que a <= b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois números reais, e , e sabemos que para qualquer número positivo , a diferença é menor que . Nosso objetivo aqui é mostrar que, com base nisso, é menor ou igual a . Vamos precisar entender um pouco sobre desigualdades e propriedades dos números reais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que a condição significa. Isso quer dizer que, se a gente pegar qualquer número positivo bem pequeno, subtrair esse número de , o resultado vai ser menor que . Em outras palavras, está tão próximo de ou acima dele que mesmo diminuindo qualquer pedacinho de , ainda assim continua menor que .

Passo 3

Agora, vamos pensar no que estamos tentando provar: . Isso quer dizer que é menor que ou igual a . Se assumíssemos, para chegar a uma contradição, que , a gente veria se isso poderia ser compatível com a condição dada.

Passo 4

Suponha, por absurdo, que . Se fosse realmente maior que , poderíamos escolher um talente que (que seria positiva, já que ). Então teríamos:
Mas isso não satisfaz a condição de que , porque , não menor que . Então nossa suposição de que leva a uma contradição.

Passo 5

Como a suposição de que não funciona, a única alternativa que resta é que não é maior que , ou seja, .

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados