Dados números reais
e
, tais que
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois números reais,
e
, e sabemos que para qualquer número positivo
, a diferença
é menor que
. Nosso objetivo aqui é mostrar que, com base nisso,
é menor ou igual a
. Vamos precisar entender um pouco sobre desigualdades e propriedades dos números reais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que a condição
significa. Isso quer dizer que, se a gente pegar qualquer número positivo bem pequeno, subtrair esse número de
, o resultado vai ser menor que
. Em outras palavras,
está tão próximo de
ou acima dele que mesmo diminuindo qualquer pedacinho de
, ainda assim
continua menor que
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que estamos tentando provar:
. Isso quer dizer que
é menor que ou igual a
. Se assumíssemos, para chegar a uma contradição, que
, a gente veria se isso poderia ser compatível com a condição dada.
Passo 4
Suponha, por absurdo, que
. Se
fosse realmente maior que
, poderíamos escolher um
talente que
(que seria positiva, já que
). Então teríamos:
Mas isso não satisfaz a condição de que
, porque
, não menor que
. Então nossa suposição de que
leva a uma contradição.
Passo 5
Como a suposição de que
não funciona, a única alternativa que resta é que
não é maior que
, ou seja,
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.