(Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam a1, a2, cdots, an, b1, b2, cdots, bn in R. Mostre que:
(a1 b1+a2 b2+cdots+an bn)^2 <=(a1^2+a2^2+cdots+an^2)(b1^2+b2^2+cdots+bn^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem esse exercício que fala sobre a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Basicamente, a gente precisa mostrar que, se você tem dois conjuntos de números reais (a1 b1 + a2 b2 + cdots + an bn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + cdots + an^2) (b1^2 + b2^2 + cdots + bn^2) e , então:
Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra básica e conceitos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos números a = (a1, a2, dots, an) b = (b1, b2, dots, bn) e como componentes de dois vetores no espaço . Vamos chamar esses vetores de e .
Então, podemos escrever:

Passo 3

A Desigualdade de Cauchy-Schwarz basicamente relaciona o produto interno desses dois vetores com as normas (ou tamanhos) deles. O produto interno é dado por:
a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + cdots + an bn
E a norma de um vetor é:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + cdots + an^2 |b| = raizb1^2 + b2^2 + cdots + bn^2

Passo 4

A Desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que:
(a cdot b)^2 <= |a|^2 cdot |b|^2
Ou seja,
(a1 b1 + a2 b2 + cdots + an bn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + cdots + an^2) (b1^2 + b2^2 + cdots + bn^2)

Passo 5

Para provar isso, vamos considerar a expressão:
|a - lambda b|^2 >= 0
Essa expressão representa o quadrado da norma de um vetor, que sempre é não negativo porque quadrado de qualquer número é positivo ou zero.

Passo 6

Expandindo essa expressão, temos:
|a - lambda b|^2 = (a - lambda b) cdot (a - lambda b) = a cdot a - 2 lambda (a cdot b) + lambda^2 (b cdot b) = |a|^2 - 2 lambda (a cdot b) + lambda^2 |b|^2

Passo 7

Sabemos que essa expressão deve ser maior ou igual a zero:
|a|^2 - 2 lambda (a cdot b) + lambda^2 |b|^2 >= 0
Essa é uma inequação quadrática em relação a . Para que toda a expressão seja não negativa, o determinante dessa quadrática deve ser menor ou igual a zero.

Passo 8

Calculando o determinante:
(-2 (a cdot b))^2 - 4 cdot 1 cdot |a|^2 |b|^2 <= 0 4 (a cdot b)^2 - 4 |a|^2 |b|^2 <= 0 (a cdot b)^2 <= |a|^2 |b|^2

Passo 9

E assim, chegamos à Desigualdade de Cauchy-Schwarz:
(a1 b1 + a2 b2 + cdots + an bn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + cdots + an^2) (b1^2 + b2^2 + cdots + bn^2)

Resposta

A desigualdade foi comprovada, mostrando que:
(a1 b1 + a2 b2 + cdots + an bn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + cdots + an^2) (b1^2 + b2^2 + cdots + bn^2)

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