(Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam
. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem esse exercício que fala sobre a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Basicamente, a gente precisa mostrar que, se você tem dois conjuntos de números reais
e
, então:
Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra básica e conceitos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nos números
e
como componentes de dois vetores no espaço
. Vamos chamar esses vetores de
e
.
Então, podemos escrever:
Passo 3
A Desigualdade de Cauchy-Schwarz basicamente relaciona o produto interno desses dois vetores com as normas (ou tamanhos) deles. O produto interno é dado por:
E a norma de um vetor é:
Passo 4
A Desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que:
Ou seja,
Passo 5
Para provar isso, vamos considerar a expressão:
Essa expressão representa o quadrado da norma de um vetor, que sempre é não negativo porque quadrado de qualquer número é positivo ou zero.
Passo 6
Expandindo essa expressão, temos:
Passo 7
Sabemos que essa expressão deve ser maior ou igual a zero:
Essa é uma inequação quadrática em relação a
. Para que toda a expressão seja não negativa, o determinante dessa quadrática deve ser menor ou igual a zero.
Passo 8
Calculando o determinante:
Passo 9
E assim, chegamos à Desigualdade de Cauchy-Schwarz:
Resposta
A desigualdade foi comprovada, mostrando que: