Se
é tal que
, para todo
, mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número real
que satisfaz a condição
para todo
. A matéria envolvida aqui é a teoria dos números reais e suas propriedades de ordem. Para resolver, vamos usar o conceito de limites e a ideia de que se um número é menor que qualquer número positivo, ele deve ser igual a zero.
Passo 2
Vamos supor, para começar, que
não é zero. Então,
seria um número positivo, já que
.
Passo 3
Se
, podemos escolher um valor específico para
. Vamos definir
. Note que
porque
.
Passo 4
De acordo com a condição do exercício, temos que
. Substituindo
por
, ficamos com
.
Passo 5
Mas isso é um problema! Se
, isso implicaria que
é negativo, o que contradiz nossa suposição inicial de que
.
Passo 6
Essa contradição mostra que nossa suposição de que
é maior que zero está errada. Portanto, a única possibilidade é que
.
Resposta
Assim, concluímos que
.