Se a in R é tal que 0 <= a < epsilon, para todo epsilon > 0, mostre que a = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número real que satisfaz a condição para todo . A matéria envolvida aqui é a teoria dos números reais e suas propriedades de ordem. Para resolver, vamos usar o conceito de limites e a ideia de que se um número é menor que qualquer número positivo, ele deve ser igual a zero.

Passo 2

Vamos supor, para começar, que não é zero. Então, seria um número positivo, já que .

Passo 3

Se , podemos escolher um valor específico para . Vamos definir . Note que porque .

Passo 4

De acordo com a condição do exercício, temos que . Substituindo por , ficamos com .

Passo 5

Mas isso é um problema! Se , isso implicaria que é negativo, o que contradiz nossa suposição inicial de que .

Passo 6

Essa contradição mostra que nossa suposição de que é maior que zero está errada. Portanto, a única possibilidade é que .

Resposta

Assim, concluímos que .

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