Se , calcule

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende a zero da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo integrais e potências de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites, integrais e logaritmos.

Passo 2

Para facilitar o cálculo do limite, vamos começar tomando o logaritmo natural da expressão inteira. Isso ajuda a simplificar a potência:

Passo 3

Agora, nosso limite fica:
Isso está na forma , onde .

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos usar a propriedade:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 5

Primeiro, calculamos :
Isso porque qualquer número elevado a zero é 1.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra da diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 7

Avaliando :
Novamente, porque qualquer número elevado a zero é 1.

Passo 8

Portanto, o limite original se transforma em:

Passo 9

Agora, precisamos calcular a integral:
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, a integral fica:

Passo 10

Fazendo a substituição , temos ou .
Quando , e quando , .
A integral se transforma em:

Passo 11

Calculando a integral de :
Aplicando os limites:

Passo 12

Finalmente, substituindo de volta na expressão do limite:

Resposta

O limite é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule .
Suponha que uma bola de neve derrete de maneira que seu volume decresce a uma taxa proporcional a área de sua superfície. Se levar três horas para a bola de neve derreter para a metade de seu volume original, quanto demorará para a bola de neve derreter completamente?
Se a tangente no ponto e na curva intercepta essa mesma curva em , seja a área da região delimitada pela curva e pelo segmento de reta . Seja a área da região definida da mesma forma, mas começando com em vez de . Qual a relação entre e ?
(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO