Se 0, calcule
lim t 0integral0^1[b x+a(1-x)]^t d x^1 / t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando integral0^1 [b x + a(1 - x)]^t , dx ^1/t tende a zero da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo integrais e potências de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites, integrais e logaritmos.

Passo 2

Para facilitar o cálculo do limite, vamos começar tomando o logaritmo natural da expressão inteira. Isso ajuda a simplificar a potência:
ln( integral0^1 [b x + a(1 - x)]^t , dx ^1/t) = 1t ln( integral0^1 [b x + a(1 - x)]^t , dx )

Passo 3

Agora, nosso limite fica:
limt 0 1t ln( integral0^1 [b x + a(1 - x)]^t , dx )
Isso está na forma , onde .

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos usar a propriedade:
limt 0 ln(F(t))t = F'(0)F(0)
Então, precisamos encontrar e .

Passo 5

Primeiro, calculamos F(0) = integral0^1 [b x + a(1 - x)]^0 , dx = integral0^1 1 , dx = 1 :
Isso porque qualquer número elevado a zero é 1.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de F'(t) = ddt integral0^1 [b x + a(1 - x)]^t , dx = integral0^1 [b x + a(1 - x)]^t ln[b x + a(1 - x)] , dx em relação a :
Aqui, usamos a regra da diferenciação sob o sinal de integral.

Passo 7

Avaliando F'(0) = integral0^1 [b x + a(1 - x)]^0 ln[b x + a(1 - x)] , dx = integral0^1 ln[b x + a(1 - x)] , dx :
Novamente, porque qualquer número elevado a zero é 1.

Passo 8

Portanto, o limite original se transforma em:
limt 0 integral0^1 [b x + a(1 - x)]^t , dx ^1/t = e^F'(0)F(0) = e^integral0^1 ln[b x + a(1 - x)] , dx

Passo 9

Agora, precisamos calcular a integral:
integral0^1 ln[b x + a(1 - x)] , dx
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
b x + a(1 - x) = a + (b - a)x
Então, a integral fica:
integral0^1 ln(a + (b - a)x) , dx

Passo 10

Fazendo a substituição 1b - a integrala^b ln u , du , temos ou .
Quando , e quando , .
A integral se transforma em:

Passo 11

Calculando a integral de integral ln u , du = u ln u - u + C :
1b - a [b ln b - b - (a ln a - a)] = b ln b - a ln ab - a - 1
Aplicando os limites:

Passo 12

Finalmente, substituindo de volta na expressão do limite:
e^b ln b - a ln ab - a - 1

Resposta

O limite é igual a:
e^,dfracb,ln b - a,ln ab - a - 1

Exercícios relacionados