Se
, calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
tende a zero da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo integrais e potências de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites, integrais e logaritmos.
Passo 2
Para facilitar o cálculo do limite, vamos começar tomando o logaritmo natural da expressão inteira. Isso ajuda a simplificar a potência:
Passo 3
Agora, nosso limite fica:
Isso está na forma
, onde
.
Passo 4
Para resolver esse limite, podemos usar a propriedade:
Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, calculamos
:
Isso porque qualquer número elevado a zero é 1.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra da diferenciação sob o sinal de integral.
Passo 7
Avaliando
:
Novamente, porque qualquer número elevado a zero é 1.
Passo 8
Portanto, o limite original se transforma em:
Passo 9
Agora, precisamos calcular a integral:
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, a integral fica:
Passo 10
Fazendo a substituição
, temos
ou
.
Quando
,
e quando
,
.
A integral se transforma em:
Passo 11
Calculando a integral de
:
Aplicando os limites:
Passo 12
Finalmente, substituindo de volta na expressão do limite:
Resposta
O limite é igual a:
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Calcule
.
Suponha que uma bola de neve derrete de maneira que seu volume decresce a uma taxa proporcional a área de sua superfície. Se levar três horas para a bola de neve derreter para a metade de seu volume original, quanto demorará para a bola de neve derreter completamente?
Se a tangente no ponto
e na curva
intercepta essa mesma curva em
, seja
a área da região delimitada pela curva e pelo segmento de reta
. Seja
a área da região definida da mesma forma, mas começando com
em vez de
. Qual a relação entre
e
?
(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO