Se a tangente no ponto e na curva intercepta essa mesma curva em , seja a área da região delimitada pela curva e pelo segmento de reta . Seja a área da região definida da mesma forma, mas começando com em vez de . Qual a relação entre e ?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a curva e um ponto nessa curva. A tangente nessa curva no ponto intercepta a própria curva novamente no ponto . Queremos descobrir a relação entre duas áreas:
: área limitada pela curva e pelo segmento de reta , começando de a .
: área similar, mas começando de a .
Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a tangente e integrais para calcular as áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da tangente à curva no ponto . Suponha que tenha coordenadas .
A derivada de é . Isso nos dá a inclinação da tangente no ponto :
Usando a fórmula da reta tangente:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o ponto onde essa tangente intercepta a curva novamente. Para isso, igualamos as duas equações:
Sabemos que é uma solução (porque está na tangente). Vamos fatorar:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, está no ponto .
Passo 4
Agora, vamos calcular as áreas e .
Primeiro, a área entre a curva e a reta de a :
Resolvendo a integral:
Calculando nos limites:
De maneira similar, calculamos a área , que também resulta em: