Se a tangente no ponto P e na curva y = x^3 intercepta essa mesma curva em Q, seja A a área da região delimitada pela curva e pelo segmento de reta P Q. Seja B a área da região definida da mesma forma, mas começando com Q em vez de P. Qual a relação entre A e B ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem a curva e um ponto nessa curva. A tangente nessa curva no ponto intercepta a própria curva novamente no ponto . Queremos descobrir a relação entre duas áreas:
  • : área limitada pela curva e pelo segmento de reta , começando de a .
  • : área similar, mas começando de a .
Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar a tangente e integrais para calcular as áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da tangente à curva no ponto . Suponha que tenha coordenadas .
A derivada de é . Isso nos dá a inclinação da tangente no ponto :
Usando a fórmula da reta tangente:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ponto onde essa tangente intercepta a curva novamente. Para isso, igualamos as duas equações:
Sabemos que é uma solução (porque está na tangente). Vamos fatorar:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, está no ponto .

Passo 4

Agora, vamos calcular as áreas e .
Primeiro, a área entre a curva e a reta de a :
Resolvendo a integral:
Calculando nos limites:
De maneira similar, calculamos a área , que também resulta em:

Resposta

As áreas e são iguais, ou seja, .

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