Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular o limite quando tende ao infinito da soma:
Aqui, estamos lidando com limites de somas que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos transformar essa soma em uma expressão que a gente consiga lidar melhor, talvez relacionando com uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da soma. Observe que:
Isso porque podemos fatorar debaixo da raiz no denominador:
Então, cada termo fica:

Passo 3

Agora, a soma original pode ser reescrita como:
Isso nos lembra uma soma de Riemann, que é uma forma de aproximar integrais. Quando fica muito grande, essa soma se aproxima de uma integral definida.

Passo 4

A soma de Riemann para uma função no intervalo é dada por:
Comparando com a nossa soma, vemos que:
E o intervalo é de 0 a 1. Assim, a soma aproxima a integral:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
Fazendo a substituição , temos . Então:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

Portanto, o limite é:

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Calcule .
Se , calcule
Se a tangente no ponto e na curva intercepta essa mesma curva em , seja a área da região delimitada pela curva e pelo segmento de reta . Seja a área da região definida da mesma forma, mas começando com em vez de . Qual a relação entre e ?