Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular o limite quando
tende ao infinito da soma:
Aqui, estamos lidando com limites de somas que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos transformar essa soma em uma expressão que a gente consiga lidar melhor, talvez relacionando com uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada termo da soma. Observe que:
Isso porque podemos fatorar
debaixo da raiz no denominador:
Então, cada termo fica:
Passo 3
Agora, a soma original pode ser reescrita como:
Isso nos lembra uma soma de Riemann, que é uma forma de aproximar integrais. Quando
fica muito grande, essa soma se aproxima de uma integral definida.
Passo 4
A soma de Riemann para uma função
no intervalo
é dada por:
Comparando com a nossa soma, vemos que:
E o intervalo é de 0 a 1. Assim, a soma aproxima a integral:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Fazendo a substituição
, temos
. Então:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Resposta
Portanto, o limite é:
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Suponha que uma bola de neve derrete de maneira que seu volume decresce a uma taxa proporcional a área de sua superfície. Se levar três horas para a bola de neve derreter para a metade de seu volume original, quanto demorará para a bola de neve derreter completamente?
Calcule
.
Se
, calcule
Se a tangente no ponto
e na curva
intercepta essa mesma curva em
, seja
a área da região delimitada pela curva e pelo segmento de reta
. Seja
a área da região definida da mesma forma, mas começando com
em vez de
. Qual a relação entre
e
?