Calcule lim n infty(1raizn raizn+1+1raizn raizn+2+cdots+1raizn raizn+n).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular o limite quando limn infty ( 1raizn raizn+1 + 1raizn raizn+2 + cdots + 1raizn raizn+n ) tende ao infinito da soma:
Aqui, estamos lidando com limites de somas que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos transformar essa soma em uma expressão que a gente consiga lidar melhor, talvez relacionando com uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da soma. Observe que:
1raizn raizn+k = 1n raiz1 + kn
Isso porque podemos fatorar raizn+k = raizn(1 + kn) = raizn raiz1 + kn debaixo da raiz no denominador:
1raizn raizn+k = 1n raiz1 + kn
Então, cada termo fica:

Passo 3

Agora, a soma original pode ser reescrita como:
sumk=1^n 1n raiz1 + kn
Isso nos lembra uma soma de Riemann, que é uma forma de aproximar integrais. Quando fica muito grande, essa soma se aproxima de uma integral definida.

Passo 4

A soma de Riemann para uma função sumk=1^n f(a + kcdotb-an) cdot b-an no intervalo f(kn) = 1raiz1 + kn é dada por:
integral0^1 1raiz1 + x , dx
Comparando com a nossa soma, vemos que:
E o intervalo é de 0 a 1. Assim, a soma aproxima a integral:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
integral 1raiz1 + x , dx
Fazendo a substituição integral 1raizu , du = 2raizu + C = 2raiz1 + x + C , temos 2raiz1 + 1 - 2raiz1 + 0 = 2raiz2 - 2 . Então:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Resposta

Portanto, o limite é:
limn infty ( 1raizn raizn+1 + cdots + 1raizn raizn+n ) = 2raiz2 - 2 approx 0,828

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