Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular o limite quando
tende ao infinito da soma:
Aqui, estamos lidando com limites de somas que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos transformar essa soma em uma expressão que a gente consiga lidar melhor, talvez relacionando com uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada termo da soma. Observe que:
Isso porque podemos fatorar
debaixo da raiz no denominador:
Então, cada termo fica:
Passo 3
Agora, a soma original pode ser reescrita como:
Isso nos lembra uma soma de Riemann, que é uma forma de aproximar integrais. Quando
fica muito grande, essa soma se aproxima de uma integral definida.
Passo 4
A soma de Riemann para uma função
no intervalo
é dada por:
Comparando com a nossa soma, vemos que:
E o intervalo é de 0 a 1. Assim, a soma aproxima a integral:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Fazendo a substituição
, temos
. Então:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Resposta
Portanto, o limite é: