(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que precisa ser resolvida usando um método de substituição apropriado. O conteúdo que envolve aqui são métodos para resolver EDOs, especificamente a Equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar a substituição correta para simplificar e encontrar a solução.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a EDO para identificar melhor os termos:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Essa forma nos mostra que a equação é uma Equação de Bernoulli, que tem o formato:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Definimos:
Calculando a derivada de em relação a :
Isso nos permite reescrever a equação original em termos de .

Passo 4

Substituindo na EDO original, temos:
Dividindo todos os termos por :
Multiplicando por para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em .

Passo 5

Para resolver a equação linear , encontramos o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Simplificando:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral de é , então:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Tomando o inverso para resolver para :
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é a constante de integração.

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Se a tangente no ponto e na curva intercepta essa mesma curva em , seja a área da região delimitada pela curva e pelo segmento de reta . Seja a área da região definida da mesma forma, mas começando com em vez de . Qual a relação entre e ?
Se , calcule
(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO
(2,5 Pontos) Reolva a Equação de Bernoulli.