(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que precisa ser resolvida usando um método de substituição apropriado. O conteúdo que envolve aqui são métodos para resolver EDOs, especificamente a Equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar a substituição correta para simplificar e encontrar a solução.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a EDO para identificar melhor os termos:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Essa forma nos mostra que a equação é uma Equação de Bernoulli, que tem o formato:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que simplifica a equação. Definimos:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso nos permite reescrever a equação original em termos de
.
Passo 4
Substituindo na EDO original, temos:
Dividindo todos os termos por
:
Multiplicando por
para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em
.
Passo 5
Para resolver a equação linear
, encontramos o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Simplificando:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Tomando o inverso para resolver para
:
Para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Se a tangente no ponto
e na curva
intercepta essa mesma curva em
, seja
a área da região delimitada pela curva e pelo segmento de reta
. Seja
a área da região definida da mesma forma, mas começando com
em vez de
. Qual a relação entre
e
?
Se
, calcule
(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO
(2,5 Pontos) Reolva a Equação de Bernoulli.