Suponha que uma bola de neve derrete de maneira que seu volume decresce a uma taxa proporcional a área de sua superfície. Se levar três horas para a bola de neve derreter para a metade de seu volume original, quanto demorará para a bola de neve derreter completamente?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola de neve cujo volume diminui a uma taxa proporcional à área da sua superfície. Sabemos que levará três horas para a bola derreter até a metade do seu volume original. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo levará para a bola derreter completamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial relacionados a taxas de variação e geometria das esferas.
Passo 2
Vamos começar definindo as fórmulas chave para o volume
e a área da superfície
de uma esfera:
Onde
é o raio da esfera.
Passo 3
A taxa de variação do volume em relação ao tempo
é proporcional à área da superfície. Podemos expressar isso como:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo, e
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 4
Substituindo as expressões de
e
nas equações acima:
Derivando o volume em relação ao tempo:
Passo 5
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Isso significa que a taxa de variação do raio é constante e igual a
.
Passo 6
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Onde
é o raio inicial da bola de neve.
Passo 7
Sabemos que após três horas (
), o volume é metade do original. Usando a relação do volume:
Substituindo
:
Passo 8
Tomando a raiz cúbica dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, para encontrar o tempo total
para a bola derreter completamente (
):
Substituindo o valor de
encontrado:
Passo 10
Calculando numericamente:
Resposta
A bola de neve demorará aproximadamente 14,55 horas para derreter completamente.
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Calcule
.
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Se
, calcule