Suponha que uma bola de neve derrete de maneira que seu volume decresce a uma taxa proporcional a área de sua superfície. Se levar três horas para a bola de neve derreter para a metade de seu volume original, quanto demorará para a bola de neve derreter completamente?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola de neve cujo volume diminui a uma taxa proporcional à área da sua superfície. Sabemos que levará três horas para a bola derreter até a metade do seu volume original. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo levará para a bola derreter completamente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial relacionados a taxas de variação e geometria das esferas.

Passo 2

Vamos começar definindo as fórmulas chave para o volume e a área da superfície de uma esfera:
Onde é o raio da esfera.

Passo 3

A taxa de variação do volume em relação ao tempo é proporcional à área da superfície. Podemos expressar isso como:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo, e é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 4

Substituindo as expressões de e nas equações acima:
Derivando o volume em relação ao tempo:

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por :
Isso significa que a taxa de variação do raio é constante e igual a .

Passo 6

Integrando ambos os lados para encontrar :
Onde é o raio inicial da bola de neve.

Passo 7

Sabemos que após três horas ( ), o volume é metade do original. Usando a relação do volume:
Substituindo :

Passo 8

Tomando a raiz cúbica dos dois lados:
Resolvendo para :

Passo 9

Agora, para encontrar o tempo total para a bola derreter completamente ( ):
Substituindo o valor de encontrado:

Passo 10

Calculando numericamente:

Resposta

A bola de neve demorará aproximadamente 14,55 horas para derreter completamente.

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