Se , mostre que .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que, dado que , mostrar que:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente limitação de uma expressão com potências e raízes. Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e manipulação de expressões exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz de -ésimo para facilitar a análise:
Queremos entender como e se comportam quando tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que, como e ambos são positivos, cresce muito mais rápido que conforme aumenta. Portanto, se torna relativamente insignificante comparado a quando é grande.

Passo 4

Podemos fatorar da soma dentro da raiz:
Aqui, dividimos cada termo dentro da soma por para isolar o termo dominante.

Passo 5

Observe que tende a zero quando tende ao infinito, já que :
Portanto, a expressão dentro do parêntese se aproxima de 1:

Resposta

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(a)
(b)
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