Se 0, mostre que lim n infty raiz[n]a^n+b^n=b.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que, dado que lim n infty raiz[n]a^n+b^n = b , mostrar que:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente limitação de uma expressão com potências e raízes. Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e manipulação de expressões exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz de raiz[n]a^n + b^n = (a^n + b^n)^1/n -ésimo para facilitar a análise:
Queremos entender como e se comportam quando tende ao infinito.

Passo 3

Sabemos que, como e ambos são positivos, cresce muito mais rápido que conforme aumenta. Portanto, se torna relativamente insignificante comparado a quando é grande.

Passo 4

Podemos fatorar (a^n + b^n)^1/n = b cdot ( (ab)^n + 1 )^1/n da soma dentro da raiz:
Aqui, dividimos cada termo dentro da soma por para isolar o termo dominante.

Passo 5

Observe que limn to infty (ab)^n = 0 tende a zero quando limn to infty ( (ab)^n + 1 )^1/n = 1^1/n = 1 tende ao infinito, já que :
Portanto, a expressão dentro do parêntese se aproxima de 1:

Resposta

lim n infty raiz[n]a^n+b^n = b

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