Se
, mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que, dado que
, mostrar que:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente limitação de uma expressão com potências e raízes. Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e manipulação de expressões exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz de
-ésimo para facilitar a análise:
Queremos entender como
e
se comportam quando
tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que, como
e ambos são positivos,
cresce muito mais rápido que
conforme
aumenta. Portanto,
se torna relativamente insignificante comparado a
quando
é grande.
Passo 4
Podemos fatorar
da soma dentro da raiz:
Aqui, dividimos cada termo dentro da soma por
para isolar o termo dominante.
Passo 5
Observe que
tende a zero quando
tende ao infinito, já que
:
Portanto, a expressão dentro do parêntese se aproxima de 1:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
é uma sequência periódica de números reais, isto é, existe um
tal que
para todo
natural. Mostre que se
é convergente então
é constante.
Sejam
tal que
e
uma sequência cujo termo geral é definido por
Mostre que
é monótona e limitada, conclua a partir daí que existe
. Além disso mostre que
Mostre que o produto de três inteiros consecutivos é sempre divisível por 6.
Sabendo que a divisão de
por 12 deixa resto 7 , calcule o resto da divisão de cada um dos inteiros abaixos por 12 .
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©