Se
, mostre que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que, dado que
, mostrar que:
O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especificamente limitação de uma expressão com potências e raízes. Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e manipulação de expressões exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão dentro da raiz de
-ésimo para facilitar a análise:
Queremos entender como
e
se comportam quando
tende ao infinito.
Passo 3
Sabemos que, como
e ambos são positivos,
cresce muito mais rápido que
conforme
aumenta. Portanto,
se torna relativamente insignificante comparado a
quando
é grande.
Passo 4
Podemos fatorar
da soma dentro da raiz:
Aqui, dividimos cada termo dentro da soma por
para isolar o termo dominante.
Passo 5
Observe que
tende a zero quando
tende ao infinito, já que
:
Portanto, a expressão dentro do parêntese se aproxima de 1: